9.4 Le th´ eor` eme de Frobenius
291
a) λ 0 est une valeur propre de P , et il est possible de choisir un vecteur propre x
0 associ´ e
` a λ 0 tel que x
0 > 0 ;
b) si λ est une autre valeur propre de P , alors |λ| ≤ λ 0 .
Preuve
7 a) Nous d´ emontrerons cet ´ enonc´ e en deux ´ etapes, (i) et (ii).
(i) Si P 0, il existe x
0
0 tel que P x
0 = λ 0 x
0 .
Pour d´ emontrer ce premier ´ enonc´ e, consid´ erons une suite {λ i < λ 0 , i ∈ N} d’´ el´ ements
de Λ qui converge vers λ 0 et des vecteurs x
(i) , i ∈ N, qui satisfont ` a (9.4)
1≤j≤n
x
(i)
j = 1,
x
(i) > 0
et
P x
(i)
≥ λ i x
(i) .
Puisque les points x
(i) appartiennent tous au simplexe d´ ecrit ci-dessus qui est compact,
leur ensemble {x
(i)
} poss` ede un point d’accumulation dans ce simplexe, et on peut
choisir une sous-suite {x
(ni)
}, n 1 < n 2 < . . . , qui converge. Soit x
0 la limite
lim
i→∞
x
(ni) = x
0 .
Notons que x
0 appartient au simplexe et donc,
j x
0
j = 1 et x
0 > 0. Enfin, puisque
P (x
(ni)
− λ i x
(ni) ) ≥ 0, on a P x
0
≥ λ 0 x
0 . Montrons en fait que P x
0 = λ 0 x
0 . Pour ce
faire, supposons que P x
0 > λ 0 x
0 . Puisque P 0, en multipliant les deux membres de
P x
0 > λ 0 x
0 par P et en nommant y
0 = P x
0 , on obtient P y
0
λ 0 y
0 . (Exercice : ´ ecrire
les d´ etails.) Puisque cette in´ egalit´ e est stricte pour toutes les composantes, il existe
> 0 tel que P y
0
(λ 0 + )y
0 . En normalisant y
0 pour que
j y
0
j = 1, on d´ eduit que
λ 0 + ∈ Λ et que λ 0 ne peut pas ˆ etre le supremum, ce qui est une contradiction. Donc,
P x
0 = λ 0 x
0 . Puisque P 0 et x
0 > 0, on a de plus P x
0
0, c’est-` a-dire λ 0 x
0
0 et
donc, x
0
0 car λ 0 > 0.
(ii) Si P > 0, alors il existe x
0 > 0 tel que P x
0 = λ 0 x
0 .
Consid´ erons la matrice E, n × n, dont tous les ´ el´ ements sont 1. Notons que, si x > 0,
alors (Ex) i =
j x j ≥ x i pour tout i et donc, Ex ≥ x. Si P > 0, alors (P + δE) 0
pour tout δ > 0, et l’´ enonc´ e (i) d´ emontr´ e ci-dessus s’applique ` a cette matrice. Soit
δ 2 > δ 1 > 0 et soit x ∈ R
n tel que x > 0 et
j x j = 1. Si, de plus, (P + δ 1 E)x ≥ λx,
on a
(P + δ 2 E)x = (P + δ 1 E)x + (δ 2 − δ 1 )Ex ≥ λx + (δ 2 − δ 1 )x
et donc, la valeur λ 0 (δ) associ´ ee par l’´ enonc´ e (i) ` a la matrice (P + δE) est une fonction
croissante de δ. De plus, λ 0 (0) est le λ 0 associ´ e ` a la matrice P . Choisissons une suite
{δ i , i ∈ N} positive d´ ecroissante convergeant vers 0. En vertu de (i), il est possible de
trouver des x(δ i ) satisfaisant ` a (P +δ i E)x(δ i ) = λ 0 (δ i )x(δ i ) o` u x(δ i ) 0 et
j x j (δ i ) =
1. Puisque tous ces vecteurs sont situ´ es dans le simplexe d´ ecrit, il existe une sous-suite
{δ ni } telle que les x(δ ni ) convergent vers un vecteur x
0 . Ce vecteur satisfait sˆ urement
7 La d´ emonstration propos´ ee ici suit de pr` es celle de Karlin et Taylor [2].
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a) λ 0 est une valeur propre de P , et il est possible de choisir un vecteur propre x
0 associ´ e
` a λ 0 tel que x
0 > 0 ;
b) si λ est une autre valeur propre de P , alors |λ| ≤ λ 0 .
Preuve
7 a) Nous d´ emontrerons cet ´ enonc´ e en deux ´ etapes, (i) et (ii).
(i) Si P 0, il existe x
0
0 tel que P x
0 = λ 0 x
0 .
Pour d´ emontrer ce premier ´ enonc´ e, consid´ erons une suite {λ i < λ 0 , i ∈ N} d’´ el´ ements
de Λ qui converge vers λ 0 et des vecteurs x
(i) , i ∈ N, qui satisfont ` a (9.4)
1≤j≤n
x
(i)
j = 1,
x
(i) > 0
et
P x
(i)
≥ λ i x
(i) .
Puisque les points x
(i) appartiennent tous au simplexe d´ ecrit ci-dessus qui est compact,
leur ensemble {x
(i)
} poss` ede un point d’accumulation dans ce simplexe, et on peut
choisir une sous-suite {x
(ni)
}, n 1 < n 2 < . . . , qui converge. Soit x
0 la limite
lim
i→∞
x
(ni) = x
0 .
Notons que x
0 appartient au simplexe et donc,
j x
0
j = 1 et x
0 > 0. Enfin, puisque
P (x
(ni)
− λ i x
(ni) ) ≥ 0, on a P x
0
≥ λ 0 x
0 . Montrons en fait que P x
0 = λ 0 x
0 . Pour ce
faire, supposons que P x
0 > λ 0 x
0 . Puisque P 0, en multipliant les deux membres de
P x
0 > λ 0 x
0 par P et en nommant y
0 = P x
0 , on obtient P y
0
λ 0 y
0 . (Exercice : ´ ecrire
les d´ etails.) Puisque cette in´ egalit´ e est stricte pour toutes les composantes, il existe
> 0 tel que P y
0
(λ 0 + )y
0 . En normalisant y
0 pour que
j y
0
j = 1, on d´ eduit que
λ 0 + ∈ Λ et que λ 0 ne peut pas ˆ etre le supremum, ce qui est une contradiction. Donc,
P x
0 = λ 0 x
0 . Puisque P 0 et x
0 > 0, on a de plus P x
0
0, c’est-` a-dire λ 0 x
0
0 et
donc, x
0
0 car λ 0 > 0.
(ii) Si P > 0, alors il existe x
0 > 0 tel que P x
0 = λ 0 x
0 .
Consid´ erons la matrice E, n × n, dont tous les ´ el´ ements sont 1. Notons que, si x > 0,
alors (Ex) i =
j x j ≥ x i pour tout i et donc, Ex ≥ x. Si P > 0, alors (P + δE) 0
pour tout δ > 0, et l’´ enonc´ e (i) d´ emontr´ e ci-dessus s’applique ` a cette matrice. Soit
δ 2 > δ 1 > 0 et soit x ∈ R
n tel que x > 0 et
j x j = 1. Si, de plus, (P + δ 1 E)x ≥ λx,
on a
(P + δ 2 E)x = (P + δ 1 E)x + (δ 2 − δ 1 )Ex ≥ λx + (δ 2 − δ 1 )x
et donc, la valeur λ 0 (δ) associ´ ee par l’´ enonc´ e (i) ` a la matrice (P + δE) est une fonction
croissante de δ. De plus, λ 0 (0) est le λ 0 associ´ e ` a la matrice P . Choisissons une suite
{δ i , i ∈ N} positive d´ ecroissante convergeant vers 0. En vertu de (i), il est possible de
trouver des x(δ i ) satisfaisant ` a (P +δ i E)x(δ i ) = λ 0 (δ i )x(δ i ) o` u x(δ i ) 0 et
j x j (δ i ) =
1. Puisque tous ces vecteurs sont situ´ es dans le simplexe d´ ecrit, il existe une sous-suite
{δ ni } telle que les x(δ ni ) convergent vers un vecteur x
0 . Ce vecteur satisfait sˆ urement
7 La d´ emonstration propos´ ee ici suit de pr` es celle de Karlin et Taylor [2].