9.2 Toile et chaˆ ınes de Markov
283
Nous observons donc que P
m semble converger vers une matrice constante dont les
colonnes sont identiques. Ceci n’est pas un hasard et se produit pour la plupart des
matrices de Markov. Voici pourquoi.
Propri´ et´ e 9.2 La matrice de transition P d’une chaˆ ıne de Markov poss` ede 1 parmi
ses valeurs propres.
Preuve Rappelons que les valeurs propres d’une matrice sont toujours ´ egales aux
valeurs propres de sa transpos´ ee. Ceci vient du fait que les polynˆ omes caract´ eristiques
sont les mˆ emes :
Δ P t (λ) = det(λI − P
t ) = det(λI − P )
t = det(λI − P ) = Δ P (λ).
Nous avons utilis´ e pour obtenir la troisi` eme ´ egalit´ e la propri´ et´ e selon laquelle le
d´ eterminant d’une matrice est le mˆ eme que celui de sa transpos´ ee. Or, il est facile
de trouver un vecteur propre de la matrice P
t . Soit le vecteur u = (1, 1, . . . , 1)
t . Alors,
P
t u = u. En effet, calculons l’´ el´ ement de matrice i de cette relation :
(P
t u) i =
n
j=1
[P
t ] ij u j =
n
j=1
p ji · 1,
car tous les u j sont 1,
= 1
d’apr` es (9.2).
Propri´ et´ e 9.3 Si λ est une valeur propre d’une matrice de transition P , n × n, alors
|λ| ≤ 1. De plus, il existe un vecteur propre associ´ e `
a la valeur propre λ = 1 dont toutes
les composantes sont positives ou nulles.
Cette propri´ et´ e d´ ecoule d’un th´ eor` eme attribu´ e ` a Frobenius. Quoique sa preuve ne repose
que sur des ´ el´ ements d’alg` ebre lin´ eaire et d’analyse ´ el´ ementaire, elle n’est pas simple.
Nous l’avons report´ e ` a la section 9.4
Hypoth` eses Nous ferons, pour la suite, trois hypoth` eses.
(i) Tout d’abord, nous supposerons qu’il n’y a qu’une valeur propre telle que |λ| = 1
et que, selon la propri´ et´ e 9.2, cette valeur propre est donc 1.
(ii) Nous supposerons ´ egalement que cette valeur propre n’est pas d´ eg´ en´ er´ ee, c’est-` adire que le sous-espace propre associ´ e est de dimension 1.
(iii) Enfin, nous tiendrons pour acquis que la matrice P repr´ esentant la toile est diagonalisable, c’est-` a-dire qu’il est possible de construire une base ` a l’aide de ses vecteurs
propres.
Les deux premi` eres hypoth` eses ne sont pas r´ ealis´ ees pour toute matrice de transition
P , et il existe mˆ eme des toiles dont la matrice P ne satisfait ni ` a l’une ni `
a l’autre
(voir les exercices). Ce sont tout de mˆ eme des hypoth` eses raisonnables pour la Toile. La
troisi` eme hypoth` ese est l` a pour simplifier la pr´ esentation qui suit.
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Nous observons donc que P
m semble converger vers une matrice constante dont les
colonnes sont identiques. Ceci n’est pas un hasard et se produit pour la plupart des
matrices de Markov. Voici pourquoi.
Propri´ et´ e 9.2 La matrice de transition P d’une chaˆ ıne de Markov poss` ede 1 parmi
ses valeurs propres.
Preuve Rappelons que les valeurs propres d’une matrice sont toujours ´ egales aux
valeurs propres de sa transpos´ ee. Ceci vient du fait que les polynˆ omes caract´ eristiques
sont les mˆ emes :
Δ P t (λ) = det(λI − P
t ) = det(λI − P )
t = det(λI − P ) = Δ P (λ).
Nous avons utilis´ e pour obtenir la troisi` eme ´ egalit´ e la propri´ et´ e selon laquelle le
d´ eterminant d’une matrice est le mˆ eme que celui de sa transpos´ ee. Or, il est facile
de trouver un vecteur propre de la matrice P
t . Soit le vecteur u = (1, 1, . . . , 1)
t . Alors,
P
t u = u. En effet, calculons l’´ el´ ement de matrice i de cette relation :
(P
t u) i =
n
j=1
[P
t ] ij u j =
n
j=1
p ji · 1,
car tous les u j sont 1,
= 1
d’apr` es (9.2).
Propri´ et´ e 9.3 Si λ est une valeur propre d’une matrice de transition P , n × n, alors
|λ| ≤ 1. De plus, il existe un vecteur propre associ´ e `
a la valeur propre λ = 1 dont toutes
les composantes sont positives ou nulles.
Cette propri´ et´ e d´ ecoule d’un th´ eor` eme attribu´ e ` a Frobenius. Quoique sa preuve ne repose
que sur des ´ el´ ements d’alg` ebre lin´ eaire et d’analyse ´ el´ ementaire, elle n’est pas simple.
Nous l’avons report´ e ` a la section 9.4
Hypoth` eses Nous ferons, pour la suite, trois hypoth` eses.
(i) Tout d’abord, nous supposerons qu’il n’y a qu’une valeur propre telle que |λ| = 1
et que, selon la propri´ et´ e 9.2, cette valeur propre est donc 1.
(ii) Nous supposerons ´ egalement que cette valeur propre n’est pas d´ eg´ en´ er´ ee, c’est-` adire que le sous-espace propre associ´ e est de dimension 1.
(iii) Enfin, nous tiendrons pour acquis que la matrice P repr´ esentant la toile est diagonalisable, c’est-` a-dire qu’il est possible de construire une base ` a l’aide de ses vecteurs
propres.
Les deux premi` eres hypoth` eses ne sont pas r´ ealis´ ees pour toute matrice de transition
P , et il existe mˆ eme des toiles dont la matrice P ne satisfait ni ` a l’une ni `
a l’autre
(voir les exercices). Ce sont tout de mˆ eme des hypoth` eses raisonnables pour la Toile. La
troisi` eme hypoth` ese est l` a pour simplifier la pr´ esentation qui suit.