8.1 Introduction
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Si on g´ en` ere une suite de 0 et de 1 en lan¸ cant une pi` ece, on peut ensuite regrouper
ceux-ci en quintuples de bits dans {0, 1} et les transformer en nombres de S. Par exemple,
supposons qu’on ait obtenu la suite
10000 00101 11110 01001 01001 11011.
(8.1)
Elle g´ en` ere la suite
10000
1
00101
20
11110
15
01001
18
01001
18
11011
27
,
soit
1, 20, 15, 18, 18, 27
de nombres de S.
Si, au lieu de 31, on avait pris N = 2
r
−1 et S = {0, . . . , N}, on aurait pu transformer
une suite al´ eatoire de 0 et de 1 en une suite al´ eatoire d’´ el´ ements de S.
Mais, pour peu que r soit grand ou que l’on veuille une longue suite de nombres
al´ eatoires, on voit bien que le processus d´ ecrit ci-dessus, ` a savoir lancer la pi` ece un grand
nombre de fois, ne convient plus. La solution retenue est de programmer un ordinateur
pour qu’il g´ en` ere une suite de 0 et de 1 de telle sorte que la suite ait l’air aussi al´ eatoire
qu’une vraie suite de r´ esultats du jeu de pile ou face. Un tel programme ou algorithme
est un g´ en´ erateur de nombres al´ eatoires. En fait, comme l’algorithme qui g´ en` ere ces
nombres est d´ eterministe, la suite de nombres g´ en´ er´ ee n’a que l’apparence d’une suite
de nombres al´ eatoires. C’est pour cela que les sp´ ecialistes appellent ces algorithmes des
g´ en´ erateurs de nombres pseudo-al´ eatoires.
Leur utilisation est ´ egalement tr` es r´ epandue dans des simulations de toutes sortes.
Dans beaucoup de ces cas, on veut g´ en´ erer au hasard des nombres r´ eels de l’intervalle
[0, 1]. Dans ce cas-ci, on peut ´ ecrire un nombre r´ eel de [0, 1] ` a l’aide de son d´ eveloppement
binaire. Pour diff´ erencier le d´ eveloppement binaire du d´ eveloppement d´ ecimal, on met
un indice 2 `
a la fin de l’´ ecriture du nombre. Ainsi, (0,a 1 a 2 . . . a n ) 2 repr´ esente
(0a 1 a 2 . . . a n ) 2 = a 1 2
−1 + a 2 2
−2 + · · · + a n 2
−n =
n
i=1
a i
2 i .
En g´ en´ eral, un nombre r´ eel a un d´ eveloppement binaire infini, mais comme un ordinateur
ne peut calculer avec une pr´ ecision infinie, on se limite `
a un d´ eveloppement fini ayant
la pr´ ecision voulue. Ainsi, la suite (8.1) g´ en` ere la suite de nombres de [0, 1]
0,10000 2
0,00101 2
0,11110 2
0,01001 2
0,01001 2
0,11011 2 .
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Si on g´ en` ere une suite de 0 et de 1 en lan¸ cant une pi` ece, on peut ensuite regrouper
ceux-ci en quintuples de bits dans {0, 1} et les transformer en nombres de S. Par exemple,
supposons qu’on ait obtenu la suite
10000 00101 11110 01001 01001 11011.
(8.1)
Elle g´ en` ere la suite
10000
1
00101
20
11110
15
01001
18
01001
18
11011
27
,
soit
1, 20, 15, 18, 18, 27
de nombres de S.
Si, au lieu de 31, on avait pris N = 2
r
−1 et S = {0, . . . , N}, on aurait pu transformer
une suite al´ eatoire de 0 et de 1 en une suite al´ eatoire d’´ el´ ements de S.
Mais, pour peu que r soit grand ou que l’on veuille une longue suite de nombres
al´ eatoires, on voit bien que le processus d´ ecrit ci-dessus, ` a savoir lancer la pi` ece un grand
nombre de fois, ne convient plus. La solution retenue est de programmer un ordinateur
pour qu’il g´ en` ere une suite de 0 et de 1 de telle sorte que la suite ait l’air aussi al´ eatoire
qu’une vraie suite de r´ esultats du jeu de pile ou face. Un tel programme ou algorithme
est un g´ en´ erateur de nombres al´ eatoires. En fait, comme l’algorithme qui g´ en` ere ces
nombres est d´ eterministe, la suite de nombres g´ en´ er´ ee n’a que l’apparence d’une suite
de nombres al´ eatoires. C’est pour cela que les sp´ ecialistes appellent ces algorithmes des
g´ en´ erateurs de nombres pseudo-al´ eatoires.
Leur utilisation est ´ egalement tr` es r´ epandue dans des simulations de toutes sortes.
Dans beaucoup de ces cas, on veut g´ en´ erer au hasard des nombres r´ eels de l’intervalle
[0, 1]. Dans ce cas-ci, on peut ´ ecrire un nombre r´ eel de [0, 1] ` a l’aide de son d´ eveloppement
binaire. Pour diff´ erencier le d´ eveloppement binaire du d´ eveloppement d´ ecimal, on met
un indice 2 `
a la fin de l’´ ecriture du nombre. Ainsi, (0,a 1 a 2 . . . a n ) 2 repr´ esente
(0a 1 a 2 . . . a n ) 2 = a 1 2
−1 + a 2 2
−2 + · · · + a n 2
−n =
n
i=1
a i
2 i .
En g´ en´ eral, un nombre r´ eel a un d´ eveloppement binaire infini, mais comme un ordinateur
ne peut calculer avec une pr´ ecision infinie, on se limite `
a un d´ eveloppement fini ayant
la pr´ ecision voulue. Ainsi, la suite (8.1) g´ en` ere la suite de nombres de [0, 1]
0,10000 2
0,00101 2
0,11110 2
0,01001 2
0,01001 2
0,11011 2 .