6.8 Exercices
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Ce code corrige au minimum une erreur. Mais il peut en corriger plus si les erreurs
sont bien plac´ ees. Quel est le nombre maximum d’erreurs qu’il peut corriger ? Sous
quelle condition ?
b) On consid` ere maintenant le code de Reed–Solomon C(7, 3). Les lettres sont
des ´ el´ ements du corps ` a huit ´ el´ ements, F 2 3 , identifi´ e ` a {0, 1}
3 , sur lequel on a une
addition et une multiplication. On d´ ecrit chaque lettre comme une suite de trois
bits b 0 b 1 b 2
. Combien de bits au maximum ce code peut-il corriger ? Sous quelle
condition ?
21. Soit le syst` eme suivant de trois ´ equations ` a trois inconnues
2x −
1
2 y
= 1,
−x + 2y − z = 0,
− y + 2z = 1.
()
a) R´ esoudre ce syst` eme sur le corps F 3 ` a trois ´ el´ ements. (Le nombre
1
2 est l’inverse
multiplicatif du nombre 2.)
b) Consid´ erons le syst` eme () sur le corps F p ` a p ´ el´ ements o` u p est un nombre
premier plus grand que 2. Pour quels p le syst` eme poss` ede-t-il une solution unique ?
22. a) Calculer, dans le corps des r´ eels R, le d´ eterminant d suivant
d =
2 −1 0
−1 2 −1
0 −1 2
.
b) Expliquer pourquoi le d´ eterminant d 2 de la matrice
⎛
⎝
0 1 0
1 0 1
0 1 0
⎞
⎠ ∈ F
3×3
2
est ´ egal `
a d mod 2.
c) Calculer dans F 3 le d´ eterminant d 3 de la matrice
⎛
⎝
2 2 0
2 2 2
0 2 2
⎞
⎠ ∈ F
3×3
3
.
Pouvez-vous obtenir ce d´ eterminant `
a partir de la r´ eponse de a) ?
d) Soit le syst` eme
2a − b
= 1,
−a + 2b − c = 1,
()
− b + 2c = 1.