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6 Codes correcteurs
C’est un sous-espace vectoriel de V . La modification (iv) → (iv) fini a une cons´ equence
inattendue. Rappelons que, si W ⊂ R
n est un sous-espace vectoriel, alors lui et son
compl´ ement n’ont que l’origine en commun : W ∩ W
⊥ = {0}. Dans un espace vectoriel
sur un corps fini, ceci n’est plus toujours le cas ! Par exemple, consid´ erons le sous-espace
W engendr´ e par le vecteur
⎛
⎝
1
1
0
⎞
⎠ ∈ F
3
2 .
Les ´ el´ ements w = (w 1 , w 2 , w 3 )
t
∈ F
3
2 du compl´ ement orthogonal W
⊥ devront satisfaire
` a
w 1 w 2 w 3
⎛
⎝
1
1
0
⎞
⎠ = 0
et donc ` a w 1 + w 2 = 0. Ainsi,
⎧
⎨
⎩
⎛
⎝
1
1
0
⎞
⎠ ,
⎛
⎝
0
0
1
⎞
⎠
⎫
⎬
⎭
forme une base de W
⊥ et
⎛
⎝
1
1
0
⎞
⎠ ∈ W ∩ W
⊥ .
Nous devons donc utiliser notre intuition des compl´ ements orthogonaux avec prudence !
6.8 Exercices
1. a) Dans le code de Hamming C(7, 4), que sont les vecteurs `
a envoyer (∈ F 7
2 ) si on
d´ esire transmettre les mots (0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0) ou (0, 1, 1, 1) ?
b) Le r´ ecepteur re¸ coit les mots : (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 0,
1, 1, 1) et (1, 1, 1, 1, 0, 0, 0). Quels ´ etaient les mots transmis ?
2. a) On utilise le code de Hamming C(15, 11) pour corriger des messages contenant
au plus un bit erron´ e. Si la matrice de contrˆ ole est
H =
⎛
⎜
⎜
⎝
1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0
1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0
1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0
1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1
⎞
⎟
⎟
⎠
et le message re¸ cu est