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6 Codes correcteurs
Preuve Si on soustrait la ligne j de la ligne i, la valeur du d´ eterminant n’est pas
chang´ ee, et la ligne i devient
0 x i − x j x
2
i − x
2
j
x
3
i − x
3
j
. . . x
n−1
i
− x
n−1
j
.
Puisque
x
k
i − x
k
j = (x i − x j )
k−1
l=0
x
l
i x
k−l−1
j
,
tous les ´ el´ ements de cette nouvelle ligne i poss` edent (x i − x j ) comme facteur. Le
d´ eterminant, vu comme polynˆ ome en les variables x 1 , x 2 , . . . , x n , poss` ede donc (x i − x j )
comme facteur pour tout i et j. Le d´ eterminant est donc le produit de
1≤i (x j − x i )
et d’un polynˆ ome demeurant `
a d´ eterminer. Notons que, dans
1≤i puissance maximale de x n est n − 1, car il y a (n − 1) termes tels que j = n. Dans le
d´ eterminant, la puissance maximale de x n est ´ egalement n − 1, car les termes incluant
x n sont tous dans la mˆ eme ligne, et c’est x
n−1
n
qui, dans cette ligne, a la plus grande
puissance. Ainsi, le polynˆ ome multipliant
1≤i x n . On peut r´ ep´ eter cet argument pour tous les autres x i ; on conclut que le polynˆ ome
multipliant
1≤i 0
1 x
1
2 x
2
3 · · · x
n−1
n
dans le
d´ eterminant vient du produit de tous les termes diagonaux et a donc pour coefficient
+1. Dans le produit
1≤i 0
1 x
1
2 x
2
3 · · · x
n−1
n
est obtenu par
multiplication des premiers termes de tous les monˆ omes (x j − x i ) et a ´ egalement pour
coefficient +1. (Pourquoi les premiers termes ? Il y a pr´ ecis´ ement n − 1 monˆ omes du
produit
1≤i variable x n est le premier terme de (x j − x i ) puisque i < j. Il faut donc choisir les n − 1
premiers termes de ces monˆ omes. Parmi les monˆ omes restants, il y en a pr´ ecis´ ement n−2
qui contiennent le terme x n−1 . `
A nouveau, dans tous ces monˆ omes, la variable x n−1 est
le premier terme. En r´ ep´ etant l’argument, on arrive ` a l’´ enonc´ e.) Donc, le d´ eterminant
et le polynˆ ome sont ´ egaux.
Preuve de la propri´ et´ e 6.20 Le lemme appliqu´ e ` a la matrice du syst` eme (6.13)
montre que son d´ eterminant est ´ egal `
a
i puissances distinctes de la racine primitive α et inf´ erieures ` a 2
m
− 1. Donc, tous ces α i
sont distincts, le d´ eterminant est non nul et la matrice inversible.
Voici un exemple concret des divers param` etres k, m et s du code. Nous avons vu
au tout d´ ebut de ce chapitre qu’il est usuel d’utiliser sept ou huit bits pour coder
chacun des symboles de typographie (lettres, chiffres, signes de ponctuation, etc.). Si
m est fix´ e ` a huit, alors chacune des lettres (∈ F 2 m ) pourra repr´ esenter pr´ ecis´ ement
une lettre de notre alphabet ou un caract` ere de ponctuation. Ainsi, la correspondance
entre « lettre de l’alphabet » et « lettre dans F 2 m » est biunivoque. Si nous choisissons