2.6 Polynômes
67
Résumons-nous
1. Une valeur α telle que φ(α) = α est appelée point fixe de la fonction
φ. Pour la calculer, on utilise des méthodes itératives de la forme
x
(k+1) = φ(x
(k) ), appelées itérations de point fixe ou méthode du
point fixe ;
2. la méthode du point fixe converge sous des conditions portant sur
la fonction d’itération φ et sa dérivée première. La convergence est
typiquement linéaire, mais devient quadratique quand φ
(α) = 0 ;
3. il est également possible d’utiliser des itérations de point fixe pour
calculer les zéros d’une fonction f ;
4. pour toute méthode de point fixe x
(k+1) = φ(x
(k) ), non nécessairement convergente, il est toujours possible de construire une nouvelle
suite en utilisant la méthode d’Aitken qui converge en général plus
vite.
Voir Exercices 2.15–2.18.
2.6 Polynômes
Nous considérons dans cette section le cas où f est un polynôme de degré
n ≥ 0 de la forme (1.9). Rappelons que l’espace des polynômes (1.9) est
noté P n , et que si p n ∈ P n , n ≥ 2, est un polynôme à coefficients réels a k ,
et si α ∈ C est une racine complexe de p n , alors ¯
α (le complexe conjugué
de α) est aussi racine de p n .
Le théorème d’Abel assure qu’on ne peut pas donner une formule
explicite des zéros d’un polynôme arbitraire p n quand n ≥ 5. Ceci motive
l’utilisation de méthodes numériques pour calculer les racines de p n .
On a vu précédemment que le choix de la donnée initiale x
(0) ou
d’un intervalle de recherche [a, b] est particulièrement important pour le
comportement de la méthode numérique. Dans le cas de polynômes, ces
choix peuvent être guidés par les résultats suivants.
Théorème 2.3 (Règle des signes de Descartes) On note ν le
nombre de changements de signe des coefficients {a j } et k le nombre
de racines réelles positives d’un polynôme p n ∈ P n , chacune comptée
avec sa multiplicité. Alors, k ≤ ν et ν − k est pair.
Exemple 2.10 Le polynôme p6(x) = x
6 − 2x
5 + 5x
4 − 6x
3 + 2x
2 + 8x − 8
a pour zéros {±1, ±2i, 1 ± i}. Il possède donc une racine positive (k = 1). Le
nombre de changements de signe ν des coefficients est 5. On a donc bien k ≤ ν
et ν − k = 4 est pair.
67
Résumons-nous
1. Une valeur α telle que φ(α) = α est appelée point fixe de la fonction
φ. Pour la calculer, on utilise des méthodes itératives de la forme
x
(k+1) = φ(x
(k) ), appelées itérations de point fixe ou méthode du
point fixe ;
2. la méthode du point fixe converge sous des conditions portant sur
la fonction d’itération φ et sa dérivée première. La convergence est
typiquement linéaire, mais devient quadratique quand φ
(α) = 0 ;
3. il est également possible d’utiliser des itérations de point fixe pour
calculer les zéros d’une fonction f ;
4. pour toute méthode de point fixe x
(k+1) = φ(x
(k) ), non nécessairement convergente, il est toujours possible de construire une nouvelle
suite en utilisant la méthode d’Aitken qui converge en général plus
vite.
Voir Exercices 2.15–2.18.
2.6 Polynômes
Nous considérons dans cette section le cas où f est un polynôme de degré
n ≥ 0 de la forme (1.9). Rappelons que l’espace des polynômes (1.9) est
noté P n , et que si p n ∈ P n , n ≥ 2, est un polynôme à coefficients réels a k ,
et si α ∈ C est une racine complexe de p n , alors ¯
α (le complexe conjugué
de α) est aussi racine de p n .
Le théorème d’Abel assure qu’on ne peut pas donner une formule
explicite des zéros d’un polynôme arbitraire p n quand n ≥ 5. Ceci motive
l’utilisation de méthodes numériques pour calculer les racines de p n .
On a vu précédemment que le choix de la donnée initiale x
(0) ou
d’un intervalle de recherche [a, b] est particulièrement important pour le
comportement de la méthode numérique. Dans le cas de polynômes, ces
choix peuvent être guidés par les résultats suivants.
Théorème 2.3 (Règle des signes de Descartes) On note ν le
nombre de changements de signe des coefficients {a j } et k le nombre
de racines réelles positives d’un polynôme p n ∈ P n , chacune comptée
avec sa multiplicité. Alors, k ≤ ν et ν − k est pair.
Exemple 2.10 Le polynôme p6(x) = x
6 − 2x
5 + 5x
4 − 6x
3 + 2x
2 + 8x − 8
a pour zéros {±1, ±2i, 1 ± i}. Il possède donc une racine positive (k = 1). Le
nombre de changements de signe ν des coefficients est 5. On a donc bien k ≤ ν
et ν − k = 4 est pair.