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2 Equations non linéaires
Preuve. Si x
(k+1) = φ(x
(k) ), alors x
(k+2) = φ(φ(x
(k) )) et, d’après
(2.27), λ
(k) = (x
(k+2)
− x
(k+1) )/(x
(k+1)
− x
(k) ), ou
λ
(k) =
x
(k+2)
− α − (x
(k+1)
− α)
x (k+1) − α − (x (k) − α)
=
x
(k+2)
− α
x (k+1) − α
− 1
1 −
x
(k)
− α
x (k+1) − α
d’où on déduit, en calculant la limite et en utilisant (2.21),
lim
k→∞
λ
(k) =
φ
(α) − 1
1 − 1/φ (α)
= φ
(α).
Avec le Lemme 2.1, on peut conclure que, pour un k donné, λ
(k) peut
être vu comme une approximation de la quantité λ introduite ci-dessus.
On utilise ainsi (2.27) dans (2.26) et on définit un nouveau x
(k+1) comme
suit
x
(k+1) = x
(k)
−
(φ(x
(k) ) − x
(k) )
2
φ(φ(x (k) )) − 2φ(x (k) ) + x (k) , k ≥ 0
(2.28)
Cette expression est connue sous le nom de formule d’extrapolation d’Aitken . Elle définit une nouvelle méthode de point de fixe (appelée parfois
méthode de Steffensen), associée à la fonction d’itération
φ Δ (x) =
xφ(φ(x)) − [φ(x)]
2
φ(φ(x)) − 2φ(x) + x
.
La fonction φ Δ n’est pas définie pour x = α puisque son dénominateur
s’annule. Néanmoins, en appliquant la règle de l’Hôpital et en supposant
que φ est dérivable et φ
(α) = 1, on trouve
lim
x→α
φ Δ (x) =
φ(φ(α)) + αφ
(φ(α))φ
(α) − 2φ(α)φ
(α)
φ (φ(α))φ (α) − 2φ (α) + 1
=
α + α[φ
(α)]
2
− 2αφ
(α)
[φ (α)] 2 − 2φ (α) + 1
= α.
Ainsi, φ Δ (x) peut être prolongée par continuité en x = α en posant
φ Δ (α) = α.
Quand φ(x) = x − f(x), le cas φ
(α) = 1 correspond à une racine
de multiplicité au moins 2 pour f (puisque φ
(α) = 1 − f
(α)). Dans ce
cas, on peut montrer à nouveau en évaluant la limite que φ Δ (α) = α.
De plus, on peut aussi vérifier que les points fixes de φ Δ sont tous, et
exclusivement, des points fixes de φ.