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9 Solutions des exercices
for j =2:Nx -1
uh( n +1 ,j )=0.5*( - cflm1 * uh(n , j +1)+ cflp1 * uh(n ,j -1));
end
j = Nx;
uh( n +1 ,j )=0.5*( - cflm1 *(2* uh(n ,j ) -uh (n ,j -1))+...
cflp1 * uh (n ,j -1));
elseif scheme == 2
% Lax Wendroff
for j =2:Nx -1
uh (n +1 ,j )= cfl21 * uh(n , j )+...
cfl2 *( cflm1 * uh(n , j +1)+ cflp1 * uh (n ,j -1));
end
j = Nx;
uh( n +1 ,j )= cfl21 * uh (n ,j )+...
cfl2 *( cflm1 *(2* uh (n ,j ) - uh(n ,j -1))+ cflp1 * uh(n ,j -1));
elseif scheme ==3
% Upwind
for j =2: Nx
uh( n +1 ,j )= - cflm1 * uh(n , j )+ cfl* uh (n ,j -1);
end
end
end
Solution 8.14 La solution exacte est la somme de deux harmoniques simples,
l’une de basse fréquence, l’autre de haute fréquence. Si Δt = 5 · 10
−2 , comme
a = 1 et CFL=0.8, on a Δx = 6.25e−3 et les phases associées aux harmoniques
sont φk 1 = 4π · 6.25e − 3 0.078 et φk 2 = 20π · 6.25e − 3 0.393. En
regardant la Figure 8.18, on remarque que le schéma décentré est plus dissipatif
que le schéma de Lax-Wendroff. Ceci est confirmé par le comportement des
coefficients de dissipation (voir le graphe de droite en bas de la Figure 8.14).
En effet, quand on considère des φk correspondant aux harmoniques données,
la courbe associée au schéma de Lax-Wendroff est plus proche de la constante
1 que celle associée au schéma décentré.
Pour ce qui concerne le coefficient de dispersion, on voit sur la Figure 8.18
que le schéma de Lax-Wendroff est en retard de phase, tandis que le schéma
décentré est en légère avance de phase. Le graphe de droite en bas de la Figure
8.15 confirme cette conclusion. On constate de plus que le retard de phase
du schéma de Lax-Wendroff est plus grand que l’avance de phase du schéma
décentré.