9.8 Chapitre 8
349
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Figure 9.13. Courbes de niveau de la température calculée pour Δx = Δy =
1/10 (traits discontinus) et pour Δx = Δy = 1/80 (traits pleins)
et on intègre par parties le second terme
b
a
utt(x, t)ut(x, t)dx+c
b
a
ux(x, t)utx(x, t)dx−c[ux(x, t)ut(x, t)]
b
a = 0. (9.6)
Ensuite, on intègre en temps (9.6) de 0 à t. En utilisant uttut =
1
2
(u
2
t )t et
uxuxt =
1
2 (u
2
x )t, en appliquant le théorème fondamental du calcul intégral
et en rappelant les conditions initiales (8.74) (c’est-à-dire ut(x, 0) = v0(x) et
ux(x, 0) = u0x(x)), on obtient
b
a
u
2
t (x, t)dx + c
b
a
u
2
x (x, t)dx =
b
a
v
2
0 (x)dx
+c
b
a
u
2
0x (x)dx + 2c
t
0
(ux(b, s)ut(b, s) − ux(a, s)ut(a, s)) ds.
D’autre part, en intégrant par parties et en appliquant les conditions de
Dirichlet homogènes pour t > 0 et sur la donnée initiale, on obtient
t
0
(ux(b, s)ut(b, s) − ux(a, s)ut(a, s))ds = 0.
D’où (8.83).
Solution 8.11 Etant donné la définition (8.64), il suffit de vérifier que
∞
j=−∞
|u
n+1
j
|
2 ≤
∞
j=−∞
|u
n
j |
2 .
(9.7)
Dans la relation (8.62), mettons tous les termes au second membre et multiplions par u
n+1
j
. Avec l’identité 2(a − b)a = a
2 − b
2 + (a − b)
2 , on a
|u
n+1
j
|
2 − |u
n
j |
2 + |u
n+1
j
− u
n
j |
2 + λa(u
n+1
j+1 − u
n+1
j−1 )u
n+1
j
= 0,
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0.1
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0.4
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0.6
0.7
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Figure 9.13. Courbes de niveau de la température calculée pour Δx = Δy =
1/10 (traits discontinus) et pour Δx = Δy = 1/80 (traits pleins)
et on intègre par parties le second terme
b
a
utt(x, t)ut(x, t)dx+c
b
a
ux(x, t)utx(x, t)dx−c[ux(x, t)ut(x, t)]
b
a = 0. (9.6)
Ensuite, on intègre en temps (9.6) de 0 à t. En utilisant uttut =
1
2
(u
2
t )t et
uxuxt =
1
2 (u
2
x )t, en appliquant le théorème fondamental du calcul intégral
et en rappelant les conditions initiales (8.74) (c’est-à-dire ut(x, 0) = v0(x) et
ux(x, 0) = u0x(x)), on obtient
b
a
u
2
t (x, t)dx + c
b
a
u
2
x (x, t)dx =
b
a
v
2
0 (x)dx
+c
b
a
u
2
0x (x)dx + 2c
t
0
(ux(b, s)ut(b, s) − ux(a, s)ut(a, s)) ds.
D’autre part, en intégrant par parties et en appliquant les conditions de
Dirichlet homogènes pour t > 0 et sur la donnée initiale, on obtient
t
0
(ux(b, s)ut(b, s) − ux(a, s)ut(a, s))ds = 0.
D’où (8.83).
Solution 8.11 Etant donné la définition (8.64), il suffit de vérifier que
∞
j=−∞
|u
n+1
j
|
2 ≤
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j=−∞
|u
n
j |
2 .
(9.7)
Dans la relation (8.62), mettons tous les termes au second membre et multiplions par u
n+1
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. Avec l’identité 2(a − b)a = a
2 − b
2 + (a − b)
2 , on a
|u
n+1
j
|
2 − |u
n
j |
2 + |u
n+1
j
− u
n
j |
2 + λa(u
n+1
j+1 − u
n+1
j−1 )u
n+1
j
= 0,