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9 Solutions des exercices
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Figure 9.8. Solutions calculées avec N = 10 (à gauche) et N = 20 (à droite)
pour le problème de Cauchy de la Solution 7.15 : méthode de Crank-Nicolson
(trait plein), et méthode de Heun (trait discontinu)
f = inline ([ ’x .^4+ y .^4+2*( x .^2).*( y .^2)+ ’ ,...
’ 4*x .* y .^2+4* x .^3+8* x .^2+8* x ’ ]);
[x , y ]= meshgrid ([ -2.1:0.1:0.1] ,[ -2:0.1:2]);
contour (x ,y , feval (f ,x , y ) ,[0 0]); grid on
La commande meshgrid trace dans le rectangle [−2.1, 0.1] × [−2, 2] une grille
avec 23 noeuds équirépartis dans la direction x, et 41 noeuds équirépartis
dans la direction y. Avec la commande contour, on trace la ligne de niveau
contour
de f (x, y) (évaluée avec la commande feval(f,x,y)) correspondant à z = 0
(vecteur d’entrée [0 0] de contour). Sur la Figure 9.9, la ligne en trait plein
délimite la région de stabilité absolue de la méthode de Heun. Cette région
est plus grande que celle de la méthode d’Euler explicite (qui correspond à
l’intérieur du cercle en trait discontinu). Les deux courbes sont tangentes à
l’axe des imaginaires à l’origine (0, 0).
−3
−2
−1
0
1
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Figure 9.9. Frontières des régions de stabilité absolue pour la méthode de
Heun (trait plein) et pour la méthode d’Euler explicite (trait discontinu). Les
régions correspondantes se trouvent à l’intérieur de ces frontières