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9 Solutions des exercices
(n + 1)h) < e
u . En remplaçant u par la solution exacte, on peut donner une
estimation a priori de la valeur de h. La situation la plus restrictive a lieu
quand u = −1 (voir Solution 7.2). Dans ce cas, la solution de l’inéquation
(n + 1)h
2 < e
−1 est h <
e −1 /(n + 1).
Solution 7.4 On reprend les instructions de la Solution 7.1, en utilisant cette
fois le Programme cranknic (Programme 7.3) au lieu de feuler. En accord
avec la théorie, on obtient le résultat suivant qui montre une convergence
d’ordre 2 :
p=log(abs(e(1:end-1)./e(2:end)))/log(2); p(1:2:end)
p =
2.0379
2.0023
2.0001
2.0000
2.0000
Solution 7.5 Considérons la formulation intégrale du problème de Cauchy
(7.5) dans l’intervalle [tn, tn+1]
y(tn+1) − y(tn) =
t n+1
tn
f (τ, y(τ ))dτ
h
2
[f (tn, y(tn)) + f (tn+1, y(tn+1))] ,
où on a approché l’intégrale avec la formule du trapèze (4.19). En posant
u0 = y(t0), et en définissant un+1 par
un+1 = un +
h
2
[f (tn, un) + f (tn+1, un+1)] ,
∀n ≥ 0,
qui est la méthode de Crank-Nicolson.
Solution 7.6 On sait que la région de stabilité absolue pour le schéma d’Euler
explicite est le disque centré en (−1, 0) et de rayon 1, c’est-à-dire l’ensemble
A = {z = hλ ∈ C : |1 + hλ| < 1}. En prenant λ = −1 + i on obtient
l’encadrement de h : h
2 − h < 0, i.e. h ∈]0, 1[.
Solution 7.7 Récrivons la méthode de Heun sous la forme suivante (de type
Runge-Kutta)
un+1 = un +
h
2
(K1 + K2),
K1 = f (tn, un), K2 = f (tn+1, un + hK1).
(9.4)
On a hτn+1(h) = y(tn+1) − y(tn) − h(
K1 +
K2)/2, avec
K1 = f (tn, y(tn)) et
K2 = f (tn+1, y(tn) + h
K1). Comme f est continue en ses deux variables, on a
lim
h→0
τn+1 = y
(tn) −
1
2
[f (tn, y(tn)) + f (tn, y(tn))] = 0
et la méthode est donc consistante.