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9 Solutions des exercices
ces résultats varient selon la version de MATLAB utilisée). Ceci s’explique en
remarquant que le conditionnement de Ai augmente avec i. En effet, on voit
avec la commande cond que le conditionnement de Ai est 10
3 pour i = 1,
10
7 pour i = 2 et 10
11 pour i = 3.
Solution 5.10 Si (λ, v) est un couple valeur propre - vecteur propre d’une
matrice A, alors λ
2 est une valeur propre de A
2 associée au même vecteur
propre. En effet, Av = λv implique A
2 v = λAv = λ
2 v. Par conséquent, si A
est symétrique définie positive K(A
2 ) = (K(A))
2 .
Solution 5.11 La matrice d’itération de la méthode de Jacobi est
BJ =
⎡
⎣
0 0 −α
−1
0 0 0
−α
−1 0 0
⎤
⎦ .
Ses valeurs propres sont {0, α
−1 , −α
−1 }. Donc la méthode converge si |α| > 1.
La matrice d’itération de la méthode de Gauss-Seidel est
BGS =
⎡
⎣
0 0 −α
−1
0 0 0
0 0 α
−2
⎤
⎦
dont les valeurs propres sont {0, 0, α
−2 }. Donc, la méthode converge si |α| >
1. En particulier, comme ρ(BGS) = [ρ(BJ )]
2 , la méthode de Gauss-Seidel
converge plus rapidement que celle de Jacobi.
Solution 5.12 Une condition suffisante pour la convergence des méthodes de
Jacobi et de Gauss-Seidel est que A est à diagonale strictement dominante. La
seconde ligne de A vérifie cette condition si |β| < 5. Noter, qu’en cherchant la
condition sous laquelle le rayon spectral des matrices d’itération est inférieur
à 1 (ce qui est une condition nécessaire et suffisante pour la convergence), on
trouve la limitation (moins restrictive) |β| < 25 pour les deux méthodes.
Solution 5.13 La méthode de relaxation s’écrit sous forme vectorielle
(I − ωD
−1 E)x
(k+1) = [(1 − ω)I + ωD
−1 F]x
(k) + ωD
−1 b
où A = D − (E + F), D étant la diagonale de A, et -E (resp. -F) la partie
inférieure (resp. supérieure) de A. La matrice d’itération correspondante est
B(ω) = (I − ωD
−1 E)
−1 [(1 − ω)I + ωD
−1 F].
En notant λi les valeurs propres de B(ω), on obtient
n
i=1
λi
= |detB(ω)|
= |det[(I − ωD
−1 E)
−1 ]| · |det[(1 − ω)I + ωD
−1 F )]|.
En remarquant que pour deux matrices A et B telles que A = I + αB avec
α ∈ R on a λi(A) = 1 + αλi(B), et que les valeurs propres de D
−1 E et D
−1 F
sont nulles, on a
9 Solutions des exercices
ces résultats varient selon la version de MATLAB utilisée). Ceci s’explique en
remarquant que le conditionnement de Ai augmente avec i. En effet, on voit
avec la commande cond que le conditionnement de Ai est 10
3 pour i = 1,
10
7 pour i = 2 et 10
11 pour i = 3.
Solution 5.10 Si (λ, v) est un couple valeur propre - vecteur propre d’une
matrice A, alors λ
2 est une valeur propre de A
2 associée au même vecteur
propre. En effet, Av = λv implique A
2 v = λAv = λ
2 v. Par conséquent, si A
est symétrique définie positive K(A
2 ) = (K(A))
2 .
Solution 5.11 La matrice d’itération de la méthode de Jacobi est
BJ =
⎡
⎣
0 0 −α
−1
0 0 0
−α
−1 0 0
⎤
⎦ .
Ses valeurs propres sont {0, α
−1 , −α
−1 }. Donc la méthode converge si |α| > 1.
La matrice d’itération de la méthode de Gauss-Seidel est
BGS =
⎡
⎣
0 0 −α
−1
0 0 0
0 0 α
−2
⎤
⎦
dont les valeurs propres sont {0, 0, α
−2 }. Donc, la méthode converge si |α| >
1. En particulier, comme ρ(BGS) = [ρ(BJ )]
2 , la méthode de Gauss-Seidel
converge plus rapidement que celle de Jacobi.
Solution 5.12 Une condition suffisante pour la convergence des méthodes de
Jacobi et de Gauss-Seidel est que A est à diagonale strictement dominante. La
seconde ligne de A vérifie cette condition si |β| < 5. Noter, qu’en cherchant la
condition sous laquelle le rayon spectral des matrices d’itération est inférieur
à 1 (ce qui est une condition nécessaire et suffisante pour la convergence), on
trouve la limitation (moins restrictive) |β| < 25 pour les deux méthodes.
Solution 5.13 La méthode de relaxation s’écrit sous forme vectorielle
(I − ωD
−1 E)x
(k+1) = [(1 − ω)I + ωD
−1 F]x
(k) + ωD
−1 b
où A = D − (E + F), D étant la diagonale de A, et -E (resp. -F) la partie
inférieure (resp. supérieure) de A. La matrice d’itération correspondante est
B(ω) = (I − ωD
−1 E)
−1 [(1 − ω)I + ωD
−1 F].
En notant λi les valeurs propres de B(ω), on obtient
n
i=1
λi
= |detB(ω)|
= |det[(I − ωD
−1 E)
−1 ]| · |det[(1 − ω)I + ωD
−1 F )]|.
En remarquant que pour deux matrices A et B telles que A = I + αB avec
α ∈ R on a λi(A) = 1 + αλi(B), et que les valeurs propres de D
−1 E et D
−1 F
sont nulles, on a