7.10 Quelques exemples
251
mettre le problème en équations à l’aide des lois de Newton. Cependant,
contrairement au cas de deux corps, on ne connaît pas de solutions sous
forme analytique. On suppose que l’un des trois corps a une masse beaucoup plus grande que les deux autres, comme dans le cas du système
Soleil-Terre-Mars. Ce problème a été étudié par de célèbres mathématiciens, comme Lagrange au 18ème siècle, Poincaré vers la fin du 19ème
et Levi-Civita au 20ème.
On note M s la masse du Soleil, M t celle de la Terre et M m celle de
Mars. La masse du Soleil étant environ 330000 fois plus grande que celle
de la Terre, et la masse de Mars valant environ le dixième de celle de
la Terre, on imagine sans peine que le centre de gravité des trois corps
coïncide approximativement avec le centre du Soleil (qui reste donc fixe
dans ce modèle) et que les trois corps demeurent dans le plan défini par
leur position initiale. Les forces exercées sur la Terre sont alors
F t = F ts + F tm = M t
d
2
x t
dt 2 ,
(7.70)
où x t = (x t , y t )
T est la position de Terre, F ts et F tm désignent respectivement les forces exercées sur la Terre par le Soleil et par Mars.
En appliquant la relation fondamentale de la dynamique, en notant G
la constant universelle de gravité et x m la position de Mars, l’équation
(7.70) s’écrit
M t
d
2
x t
dt 2 = −GM t M s
x t
|x t | 3 + GM t M m
x m − x t
|x m − x t | 3 .
Choisissons l’unité astronomique (1UA) comme unité de longueur, l’année (1an) comme unité de temps et définissons la masse du soleil par
M s =
4π
2 (1UA)
3
G(1an) 2 . En adimensionnant ces équations et en notant encore
x e , x m , x s et t les variables adimensionnées, on obtient
d
2
x t
dt 2 = 4π
2
M m
M s
x m − x t
|x m − x t | 3 −
x t
|x t | 3
.
(7.71)
En procédant de manière analogue pour Mars, on trouve
d
2
x m
dt 2 = 4π
2
M t
M s
x t − x m
|x t − x m | 3 −
x m
|x m | 3
.
(7.72)
Le système du second ordre (7.71)-(7.72) se ramène alors à un système
de huit équations du premier ordre. Le Programme 7.10 implémente la
fonction définissant le second membre du système (7.71)-(7.72).
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mettre le problème en équations à l’aide des lois de Newton. Cependant,
contrairement au cas de deux corps, on ne connaît pas de solutions sous
forme analytique. On suppose que l’un des trois corps a une masse beaucoup plus grande que les deux autres, comme dans le cas du système
Soleil-Terre-Mars. Ce problème a été étudié par de célèbres mathématiciens, comme Lagrange au 18ème siècle, Poincaré vers la fin du 19ème
et Levi-Civita au 20ème.
On note M s la masse du Soleil, M t celle de la Terre et M m celle de
Mars. La masse du Soleil étant environ 330000 fois plus grande que celle
de la Terre, et la masse de Mars valant environ le dixième de celle de
la Terre, on imagine sans peine que le centre de gravité des trois corps
coïncide approximativement avec le centre du Soleil (qui reste donc fixe
dans ce modèle) et que les trois corps demeurent dans le plan défini par
leur position initiale. Les forces exercées sur la Terre sont alors
F t = F ts + F tm = M t
d
2
x t
dt 2 ,
(7.70)
où x t = (x t , y t )
T est la position de Terre, F ts et F tm désignent respectivement les forces exercées sur la Terre par le Soleil et par Mars.
En appliquant la relation fondamentale de la dynamique, en notant G
la constant universelle de gravité et x m la position de Mars, l’équation
(7.70) s’écrit
M t
d
2
x t
dt 2 = −GM t M s
x t
|x t | 3 + GM t M m
x m − x t
|x m − x t | 3 .
Choisissons l’unité astronomique (1UA) comme unité de longueur, l’année (1an) comme unité de temps et définissons la masse du soleil par
M s =
4π
2 (1UA)
3
G(1an) 2 . En adimensionnant ces équations et en notant encore
x e , x m , x s et t les variables adimensionnées, on obtient
d
2
x t
dt 2 = 4π
2
M m
M s
x m − x t
|x m − x t | 3 −
x t
|x t | 3
.
(7.71)
En procédant de manière analogue pour Mars, on trouve
d
2
x m
dt 2 = 4π
2
M t
M s
x t − x m
|x t − x m | 3 −
x m
|x m | 3
.
(7.72)
Le système du second ordre (7.71)-(7.72) se ramène alors à un système
de huit équations du premier ordre. Le Programme 7.10 implémente la
fonction définissant le second membre du système (7.71)-(7.72).