7.10 Quelques exemples
247
Exemple 7.9 (Circuits électriques) On considère à nouveau le circuit du
Problème 7.4 et on résout l’équation du second ordre (7.63) avec le schéma de
Newmark. Sur la Figure 7.16, on compare les approximations numériques de
la fonction v calculée avec le schéma d’Euler (trait discontinu et trait plein) et
le schéma de Newmark avec θ = 1/2 et ζ = 1/4 (trait plein avec cercles), avec
un pas de temps h = 0.004. La meilleure précision de la dernière solution est
due au fait que la méthode (7.67) est d’ordre deux en h.
Voir les Exercices 7.18–7.20.
7.10 Quelques exemples
On termine ce chapitre en considérant trois exemples non triviaux de
systèmes d’équations différentielles ordinaires.
7.10.1 Le pendule sphérique
Le mouvement d’un point x(t) = (x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t))
T de masse m soumis à la gravité F = (0, 0, −gm)
T (avec g = 9.8 m/s
2 ) et contraint de se
déplacer sur la surface sphérique d’équation Φ(x) = x
2
1 + x
2
2 + x
2
3 − 1 = 0
est décrit par le système d’équations différentielles ordinaires suivant
..
x=
1
m
F −
m
.
x
T H
.
x +∇Φ
T
F
|∇Φ| 2
∇Φ
pour t > 0.
(7.68)
On note
.
x la dérivée première et
..
x la dérivée seconde par rapport à t, ∇Φ
le gradient spatial de Φ, égal à 2x, H la matrice hessienne de Φ dont les
composantes sont H ij = ∂
2 Φ/∂x i ∂x j pour i, j = 1, 2, 3. Dans notre cas,
H est une matrice diagonale dont les coefficients valent 2. On complète
le système (7.68) avec les conditions initiales x(0) = x 0 et
.
x (0) = v 0 .
Pour résoudre numériquement le système (7.68), transformons-le en
un système d’équations différentielles du premier ordre en la nouvelle
variable y, qui est un vecteur à 6 composantes. En posant y i = x i ,
y i+3 =
.
x i avec i = 1, 2, 3, et
λ =
m(y 4 , y 5 , y 6 )
T H(y 4 , y 5 , y 6 ) + ∇Φ
T
F
/|∇Φ|
2 ,
on obtient, pour i = 1, 2, 3,
⎧
⎨
⎩
.
y i = y 3+i ,
.
y 3+i =
1
m
F i − λ
∂Φ
∂y i
.
(7.69)
On utilise les méthodes d’Euler et de Crank-Nicolson. On commence
par définir une fonction MATLAB (fvinc dans le Programme 7.9) qui
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Exemple 7.9 (Circuits électriques) On considère à nouveau le circuit du
Problème 7.4 et on résout l’équation du second ordre (7.63) avec le schéma de
Newmark. Sur la Figure 7.16, on compare les approximations numériques de
la fonction v calculée avec le schéma d’Euler (trait discontinu et trait plein) et
le schéma de Newmark avec θ = 1/2 et ζ = 1/4 (trait plein avec cercles), avec
un pas de temps h = 0.004. La meilleure précision de la dernière solution est
due au fait que la méthode (7.67) est d’ordre deux en h.
Voir les Exercices 7.18–7.20.
7.10 Quelques exemples
On termine ce chapitre en considérant trois exemples non triviaux de
systèmes d’équations différentielles ordinaires.
7.10.1 Le pendule sphérique
Le mouvement d’un point x(t) = (x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t))
T de masse m soumis à la gravité F = (0, 0, −gm)
T (avec g = 9.8 m/s
2 ) et contraint de se
déplacer sur la surface sphérique d’équation Φ(x) = x
2
1 + x
2
2 + x
2
3 − 1 = 0
est décrit par le système d’équations différentielles ordinaires suivant
..
x=
1
m
F −
m
.
x
T H
.
x +∇Φ
T
F
|∇Φ| 2
∇Φ
pour t > 0.
(7.68)
On note
.
x la dérivée première et
..
x la dérivée seconde par rapport à t, ∇Φ
le gradient spatial de Φ, égal à 2x, H la matrice hessienne de Φ dont les
composantes sont H ij = ∂
2 Φ/∂x i ∂x j pour i, j = 1, 2, 3. Dans notre cas,
H est une matrice diagonale dont les coefficients valent 2. On complète
le système (7.68) avec les conditions initiales x(0) = x 0 et
.
x (0) = v 0 .
Pour résoudre numériquement le système (7.68), transformons-le en
un système d’équations différentielles du premier ordre en la nouvelle
variable y, qui est un vecteur à 6 composantes. En posant y i = x i ,
y i+3 =
.
x i avec i = 1, 2, 3, et
λ =
m(y 4 , y 5 , y 6 )
T H(y 4 , y 5 , y 6 ) + ∇Φ
T
F
/|∇Φ|
2 ,
on obtient, pour i = 1, 2, 3,
⎧
⎨
⎩
.
y i = y 3+i ,
.
y 3+i =
1
m
F i − λ
∂Φ
∂y i
.
(7.69)
On utilise les méthodes d’Euler et de Crank-Nicolson. On commence
par définir une fonction MATLAB (fvinc dans le Programme 7.9) qui