4.5 Formule de Simpson adaptative
125
0000000000000000000000000 1111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111
(I)
(II)
S
S
S
N
N
A
A
A
α
α
α
α
β
a
a
a
b
b
b
Figure 4.6. Une étape type de l’algorithme adaptatif : distribution et mise à
jour des intervalles d’intégration
Naturellement, pour éviter que l’algorithme ne produise des intervalles
trop petits, il est souhaitable de surveiller la longueur de A. On peut
alors prévenir l’utilisateur quand celle-ci devient excessivement petite.
Cela peut se produire en particulier au voisinage d’une singularité de la
fonction à intégrer.
Il reste à trouver un bon estimateur d’erreur. Restreignons pour cela
notre attention à un sous-intervalle quelconque [α, β]⊂ [a, b] dans lequel
on calcule I s (f) : si, sur cet intervalle, l’erreur est inférieure à ε(β −
α)/(b − a), alors l’erreur sur [a, b] sera bien sûr inférieure à la tolérance
ε fixée. Puisque d’après (4.24) on a
E s (f; α, β) =
β
α
f(x)dx − I s (f) = −
(β − α)
5
2880
f
(4) (ξ),
il serait suffisant de vérifier que E s (f; α, β) < ε(β − α)/(b − a) pour
avoir une erreur acceptable. Mais cette procédure n’est pas réalisable en
pratique car le point ξ ∈ [α, β] n’est pas connu.
Pour estimer l’erreur sans utiliser explicitement la valeur f
(4) (ξ),
on utilise à nouveau la formule composite de Simpson pour calculer
β
α f(x) dx, mais avec un pas H =(β − α)/2. En prenant a = α et b = β
dans (4.22), on trouve
β
α
f(x) dx − I
c
s (f) = −
(β − α)
5
46080
f
(4) (η),
(4.30)
où η est un point différent de ξ. En soustrayant les deux dernières équations, on obtient
ΔI = I
c
s (f) − I s (f) = −
(β − α)
5
2880
f
(4) (ξ) +
(β − α)
5
46080
f
(4) (η). (4.31)
125
0000000000000000000000000 1111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111
(I)
(II)
S
S
S
N
N
A
A
A
α
α
α
α
β
a
a
a
b
b
b
Figure 4.6. Une étape type de l’algorithme adaptatif : distribution et mise à
jour des intervalles d’intégration
Naturellement, pour éviter que l’algorithme ne produise des intervalles
trop petits, il est souhaitable de surveiller la longueur de A. On peut
alors prévenir l’utilisateur quand celle-ci devient excessivement petite.
Cela peut se produire en particulier au voisinage d’une singularité de la
fonction à intégrer.
Il reste à trouver un bon estimateur d’erreur. Restreignons pour cela
notre attention à un sous-intervalle quelconque [α, β]⊂ [a, b] dans lequel
on calcule I s (f) : si, sur cet intervalle, l’erreur est inférieure à ε(β −
α)/(b − a), alors l’erreur sur [a, b] sera bien sûr inférieure à la tolérance
ε fixée. Puisque d’après (4.24) on a
E s (f; α, β) =
β
α
f(x)dx − I s (f) = −
(β − α)
5
2880
f
(4) (ξ),
il serait suffisant de vérifier que E s (f; α, β) < ε(β − α)/(b − a) pour
avoir une erreur acceptable. Mais cette procédure n’est pas réalisable en
pratique car le point ξ ∈ [α, β] n’est pas connu.
Pour estimer l’erreur sans utiliser explicitement la valeur f
(4) (ξ),
on utilise à nouveau la formule composite de Simpson pour calculer
β
α f(x) dx, mais avec un pas H =(β − α)/2. En prenant a = α et b = β
dans (4.22), on trouve
β
α
f(x) dx − I
c
s (f) = −
(β − α)
5
46080
f
(4) (η),
(4.30)
où η est un point différent de ξ. En soustrayant les deux dernières équations, on obtient
ΔI = I
c
s (f) − I s (f) = −
(β − α)
5
2880
f
(4) (ξ) +
(β − α)
5
46080
f
(4) (η). (4.31)