4.5 Formule de Simpson adaptative
123
évalue en effet cette expression composante par composante sur le vecteur
de noeuds de quadrature).
Il n’est pas nécessaire d’indiquer le nombre de sous-intervalles. Celuici est automatiquement calculé afin d’assurer une erreur de quadrature
plus petite que la tolérance par défaut de 10
−3 . L’utilisateur peut choisir
une tolérance différente avec la commande étendue quadl(fun,a,b,tol).
Dans la Section 4.5, nous présenterons une méthode pour estimer l’erreur
de quadrature et pour adapter H en fonction de cette erreur.
Résumons-nous
1. Une formule de quadrature est une formule permettant d’approcher
l’intégrale de fonctions continues sur un intervalle [a, b] ;
2. elle s’exprime généralement comme une combinaison linéaire des valeurs de la fonction en des points prédéfinis (appelés noeuds) et avec
des coefficients appelés poids ;
3. le degré d’exactitude d’une formule de quadrature est le degré maximal des polynômes pouvant être intégrés exactement. Le degré
d’exactitude vaut 1 pour les formules du point milieu et du trapèze,
3 pour les formules de Gauss et Simpson, 2n + 1 pour les formules
de Gauss-Legendre avec n + 1 points de quadrature, et 2n − 1 pour
celles de Gauss-Legendre-Lobatto avec n + 1 points de quadratures ;
4. l’ordre de précision d’une formule de quadrature composite est exprimé par rapport à la taille H des sous-intervalles. Il vaut 2 pour
les formules du point milieu et du trapèze.
Voir les Exercices 4.12–4.18.
4.5 Formule de Simpson adaptative
On peut choisir le pas d’intégration H d’une formule de quadrature composite (4.21) afin de garantir que l’erreur soit inférieure à une tolérance
ε > 0 fixée. Par exemple, avec une formule de Simpson composite, (4.22)
montre qu’on a
b − a
180
H
4
16
max
x∈[a,b]
|f
(4) (x)| < ε,
(4.29)
où f
(4) désigne la dérivée quatrième de f. Malheureusement, quand la
valeur absolue de f
(4) est grande sur une petite partie de l’intervalle d’intégration, le H maximum pour lequel (4.29) est vraie risque d’être trop
petit. Pour garantir que l’erreur d’approximation de I(f) est inférieure
à une certaine tolérance ε, la formule adaptative de Simpson utilise des
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évalue en effet cette expression composante par composante sur le vecteur
de noeuds de quadrature).
Il n’est pas nécessaire d’indiquer le nombre de sous-intervalles. Celuici est automatiquement calculé afin d’assurer une erreur de quadrature
plus petite que la tolérance par défaut de 10
−3 . L’utilisateur peut choisir
une tolérance différente avec la commande étendue quadl(fun,a,b,tol).
Dans la Section 4.5, nous présenterons une méthode pour estimer l’erreur
de quadrature et pour adapter H en fonction de cette erreur.
Résumons-nous
1. Une formule de quadrature est une formule permettant d’approcher
l’intégrale de fonctions continues sur un intervalle [a, b] ;
2. elle s’exprime généralement comme une combinaison linéaire des valeurs de la fonction en des points prédéfinis (appelés noeuds) et avec
des coefficients appelés poids ;
3. le degré d’exactitude d’une formule de quadrature est le degré maximal des polynômes pouvant être intégrés exactement. Le degré
d’exactitude vaut 1 pour les formules du point milieu et du trapèze,
3 pour les formules de Gauss et Simpson, 2n + 1 pour les formules
de Gauss-Legendre avec n + 1 points de quadrature, et 2n − 1 pour
celles de Gauss-Legendre-Lobatto avec n + 1 points de quadratures ;
4. l’ordre de précision d’une formule de quadrature composite est exprimé par rapport à la taille H des sous-intervalles. Il vaut 2 pour
les formules du point milieu et du trapèze.
Voir les Exercices 4.12–4.18.
4.5 Formule de Simpson adaptative
On peut choisir le pas d’intégration H d’une formule de quadrature composite (4.21) afin de garantir que l’erreur soit inférieure à une tolérance
ε > 0 fixée. Par exemple, avec une formule de Simpson composite, (4.22)
montre qu’on a
b − a
180
H
4
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max
x∈[a,b]
|f
(4) (x)| < ε,
(4.29)
où f
(4) désigne la dérivée quatrième de f. Malheureusement, quand la
valeur absolue de f
(4) est grande sur une petite partie de l’intervalle d’intégration, le H maximum pour lequel (4.29) est vraie risque d’être trop
petit. Pour garantir que l’erreur d’approximation de I(f) est inférieure
à une certaine tolérance ε, la formule adaptative de Simpson utilise des