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3 Approximation de fonctions et de données
En posant
˜
f (x) = a 0 + a 1 x + . . . + a m x
m ,
(3.26)
où les coefficients a 0 , . . ., a m sont inconnus, le problème (3.25) peut être
reformulé ainsi : trouver a 0 , a 1 , . . . , a m tels que
Φ(a 0 , a 1 , . . . , a m ) =
min
{bi, i=0,...,m}
Φ(b 0 , b 1 , . . . , b m )
où
Φ(b 0 , b 1 , . . . , b m ) =
n
i=0
[y i − (b 0 + b 1 x i + . . . + b m x
m
i )]
2 .
Résolvons ce problème dans le cas particulier où m = 1. Puisque
Φ(b 0 , b 1 ) =
n
i=0
y
2
i + b
2
0 + b
2
1 x
2
i + 2b 0 b 1 x i − 2b 0 y i − 2b 1 x i y i
,
le graphe de Φ est un paraboloïde convexe. Le point (a 0 , a 1 ) où Φ atteint
son minimum satisfait les conditions
∂Φ
∂b 0
(a 0 , a 1 ) = 0,
∂Φ
∂b 1
(a 0 , a 1 ) = 0,
où le symbole ∂Φ/∂b j désigne la dérivée partielle (c’est-à-dire, le taux de
variation) de Φ par rapport à b j , les autres variables étant fixées (voir la
définition (8.3)).
En calculant explicitement les deux dérivées partielles, on obtient
n
i=0
[a 0 + a 1 x i − y i ] = 0,
n
i=0
[a 0 x i + a 1 x
2
i − x i y i ] = 0,
qui est un système de deux équations à deux inconnues a 0 et a 1
a 0 (n + 1) + a 1
n
i=0
x i =
n
i=0
y i ,
a 0
n
i=0
x i + a 1
n
i=0
x
2
i =
n
i=0
y i x i .
(3.27)
En posant D = (n + 1)
n
i=0 x
2
i − (
n
i=0 x i )
2 , la solution s’écrit
a 0 =
1
D
⎛
⎝
n
i=0
y i
n
j=0
x
2
j −
n
j=0
x j
n
i=0
x i y i
⎞
⎠ ,
a 1 =
1
D
⎛
⎝ (n + 1)
n
i=0
x i y i −
n
j=0
x j
n
i=0
y i
⎞
⎠ .
(3.28)