Livre_silo 30 août 2013 16:32 Page 43
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
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2 – Représentation des nombres
Par exemple, le nombre 4569760000 = 1 00010000 01100001 00000001 00000000 comporte
33 bits, que l’on découpe donc en 100 010000011000010 000000100000000. On a alors :
000000100000000 = 256
010000011000010 = 8386
100 = 4
Le nombre 4569760000 est donc représenté en mémoire par le tableau [256, 8386, 4], auquel
on associe le nombre taille=3 pour signifier qu’il y a trois chiffres et que l’entier à représenter
est positif. Le nombre -4569760000 sera représenté par le même tableau associé au nombre
-3. Enfin, cas particulier, le nombre 0 est représenté par un tableau vide associé au nombre
de chiffres 0.
Sur une machine 64 bits, le principe reste le même, mais on découpe x en paquets de
30 bits et on le représente donc par le tableau de ses chiffres en base 2
30 .
Exercice 2.28 Trouver la représentation binaire sur huit bits des entiers relatifs 127 et −127, puis de 101
et de −94.
Exercice 2.29 Quels entiers relatifs peut-on représenter avec des mots de 8 bits ? Combien sont-ils ?
Mêmes questions avec des mots de 16 bits, 32 bits et 64 bits.
Exercice 2.30 Trouver la représentation décimale des entiers relatifs dont les représentations binaires sur
8 bits sont 01010101 et 10101010.
Exercice 2.31 Montrer que le bit le plus à gauche vaut 1 pour les entiers relatifs strictement négatifs et
0 pour les entiers relatifs positifs ou nuls.
Exercice 2.32 On considère l’algorithme suivant, où les variables sont toutes des entiers relatifs représentés en complément à deux sur 32 bits.
a ← x + y
a ← a − z
b ← x − z
b ← b + y
1 Lesquelles de ces opérations risquent de donner lieu à un dépassement ?
2 Montrer que, quelles que soient les valeurs initiales de x et y, à la fin de l’algorithme les variables a et b
contiennent la même valeur.
3 Que peut-on en conclure à propos de l’addition sur les entiers relatifs en machine ?
Exercice 2.33 * On considère des entiers relatifs sur 4 bits. Dessiner le cercle correspondant, sur le même
modèle que celui de la figure 2.1, en plaçant les 16 nombres : 0, 1, 2, . . . , 7, −1, −2, . . . , −8 à leur place.
Relier les nombres opposés : 1 et −1, 2 et −2, etc. Quelle est l’interprétation géométrique de la fonction
qui à chaque nombre associe son opposé ? Que penser du cas de −8 ?
Exercice 2.34 * Représenter les entiers relatifs 99 et 57 en binaire sur 8 bits. Ajouter les deux nombres
binaires obtenus. Quel est l’entier relatif obtenu ? Pourquoi est-il négatif ?
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2 – Représentation des nombres
Par exemple, le nombre 4569760000 = 1 00010000 01100001 00000001 00000000 comporte
33 bits, que l’on découpe donc en 100 010000011000010 000000100000000. On a alors :
000000100000000 = 256
010000011000010 = 8386
100 = 4
Le nombre 4569760000 est donc représenté en mémoire par le tableau [256, 8386, 4], auquel
on associe le nombre taille=3 pour signifier qu’il y a trois chiffres et que l’entier à représenter
est positif. Le nombre -4569760000 sera représenté par le même tableau associé au nombre
-3. Enfin, cas particulier, le nombre 0 est représenté par un tableau vide associé au nombre
de chiffres 0.
Sur une machine 64 bits, le principe reste le même, mais on découpe x en paquets de
30 bits et on le représente donc par le tableau de ses chiffres en base 2
30 .
Exercice 2.28 Trouver la représentation binaire sur huit bits des entiers relatifs 127 et −127, puis de 101
et de −94.
Exercice 2.29 Quels entiers relatifs peut-on représenter avec des mots de 8 bits ? Combien sont-ils ?
Mêmes questions avec des mots de 16 bits, 32 bits et 64 bits.
Exercice 2.30 Trouver la représentation décimale des entiers relatifs dont les représentations binaires sur
8 bits sont 01010101 et 10101010.
Exercice 2.31 Montrer que le bit le plus à gauche vaut 1 pour les entiers relatifs strictement négatifs et
0 pour les entiers relatifs positifs ou nuls.
Exercice 2.32 On considère l’algorithme suivant, où les variables sont toutes des entiers relatifs représentés en complément à deux sur 32 bits.
a ← x + y
a ← a − z
b ← x − z
b ← b + y
1 Lesquelles de ces opérations risquent de donner lieu à un dépassement ?
2 Montrer que, quelles que soient les valeurs initiales de x et y, à la fin de l’algorithme les variables a et b
contiennent la même valeur.
3 Que peut-on en conclure à propos de l’addition sur les entiers relatifs en machine ?
Exercice 2.33 * On considère des entiers relatifs sur 4 bits. Dessiner le cercle correspondant, sur le même
modèle que celui de la figure 2.1, en plaçant les 16 nombres : 0, 1, 2, . . . , 7, −1, −2, . . . , −8 à leur place.
Relier les nombres opposés : 1 et −1, 2 et −2, etc. Quelle est l’interprétation géométrique de la fonction
qui à chaque nombre associe son opposé ? Que penser du cas de −8 ?
Exercice 2.34 * Représenter les entiers relatifs 99 et 57 en binaire sur 8 bits. Ajouter les deux nombres
binaires obtenus. Quel est l’entier relatif obtenu ? Pourquoi est-il négatif ?