Livre_silo 30 août 2013 16:32 Page 38
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
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Informatique pour tous
Exercice 2.12 Trouver la représentation en base cinq des nombres 88, 627 et 1451.
Exercice 2.13 Trouver la représentation en base dix des nombres 4413 5 et 212 5 .
Exercice 2.14 Trouver la représentation en base deux du nombre 10 000.
Exercice 2.15 Déterminer la taille du disque dur de votre machine en Mo. Trouver la représentation en
base deux de ce nombre.
Exercice 2.16 Donner les représentations en base deux des nombres 1, 3, 7, 15, 31 et 63. Expliquer le
résultat.
Exercice 2.17 Trouver la représentation en base seize des nombres suivants : 3718, 54920 et 482919.
Exercice 2.18 Trouver la représentation en base dix du nombre 1101 1011.
Exercice 2.19 C’est en 111 1011 0001 qu’a été transmis le premier message sur Internet. Exprimer ce
nombre en base dix. Le système tomba en panne après seulement 10 caractères transmis...
Exercice 2.20 Trouver la représentation en base dix des nombres f edc 16 et 6a5c1 16 .
Exercice 2.21 * Chercher sur le Web ce qu’est le système de numération Shadok. Est-ce un système de
numération à position ? Si oui, en quelle base et avec quels chiffres ?
Exercice 2.22 Quelle est la représentation binaire du nombre 209 ? Et celle du nombre 46 ? Soit m un
mot de 8 bits, n l’entier naturel représenté en binaire par le mot m, m ′ le mot obtenu en remplaçant
dans m chaque 0 par un 1 et chaque 1 par un 0 et n ′ l’entier naturel représenté en binaire par le mot m ′ .
Exprimer n et n ′ comme une somme de puissances de 2, montrer que n + n ′ = 255. Montrer que la
représentation binaire du nombre 255 − n est obtenue en remplaçant dans celle de n chaque 0 par un 1
et chaque 1 par un 0.
Exercice 2.23 Montrer que les mots de n bits permettent de représenter tous les entiers de 0 à 2 n − 1.
Inversement, combien de bits faut-il au minimum pour représenter tous les entiers dont l’écriture décimale
comporte n chiffres ?
Exercice 2.24 On cherche à mettre au point une procédure de calcul du produit de deux entiers naturels
représentés en binaire. Dans tout cet exercice, on pourra supposer par commodité que les entiers sont
représentés sur 32 bits ; la généralisation à un nombre de bits quelconque ne pose cependant pas de
difficulté particulière.
1 Pour multiplier par dix un entier naturel exprimé en base dix, il suffit d’ajouter un 0 à sa droite, par
exemple, 12 × 10 = 120. Quelle est l’opération équivalente pour les entiers naturels exprimés en base
deux ? Illustrer cette remarque par des exemples.
On appelle cette opération décalage à gauche, car dans les microprocesseurs, au lieu d’ajouter un 0 à
droite, on déplace tous les bits vers la gauche. Sur quels entiers cette opération n’est-elle pas possible
sans commettre d’erreur ?
2 Quelle est l’opération effectuée sur un entier naturel en base deux si on lui fait subir deux décalages à
gauche ? trois décalages ? n décalages ?
3 À l’aide des remarques précédentes, étant donnés deux entiers naturels n et m, exprimer le produit
n × m en fonction de n et de la décomposition m i . . . m 1 m 0 de m en base deux.
4 En déduire un algorithme pour effectuer le produit de deux entiers naturels représentés en base deux
utilisant uniquement :
• des additions ;
• des décalages à gauche ;
• des tests sur un bit d’un nombre.
Les multiplications effectuées par les microprocesseurs fonctionnent sur ce principe.
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Informatique pour tous
Exercice 2.12 Trouver la représentation en base cinq des nombres 88, 627 et 1451.
Exercice 2.13 Trouver la représentation en base dix des nombres 4413 5 et 212 5 .
Exercice 2.14 Trouver la représentation en base deux du nombre 10 000.
Exercice 2.15 Déterminer la taille du disque dur de votre machine en Mo. Trouver la représentation en
base deux de ce nombre.
Exercice 2.16 Donner les représentations en base deux des nombres 1, 3, 7, 15, 31 et 63. Expliquer le
résultat.
Exercice 2.17 Trouver la représentation en base seize des nombres suivants : 3718, 54920 et 482919.
Exercice 2.18 Trouver la représentation en base dix du nombre 1101 1011.
Exercice 2.19 C’est en 111 1011 0001 qu’a été transmis le premier message sur Internet. Exprimer ce
nombre en base dix. Le système tomba en panne après seulement 10 caractères transmis...
Exercice 2.20 Trouver la représentation en base dix des nombres f edc 16 et 6a5c1 16 .
Exercice 2.21 * Chercher sur le Web ce qu’est le système de numération Shadok. Est-ce un système de
numération à position ? Si oui, en quelle base et avec quels chiffres ?
Exercice 2.22 Quelle est la représentation binaire du nombre 209 ? Et celle du nombre 46 ? Soit m un
mot de 8 bits, n l’entier naturel représenté en binaire par le mot m, m ′ le mot obtenu en remplaçant
dans m chaque 0 par un 1 et chaque 1 par un 0 et n ′ l’entier naturel représenté en binaire par le mot m ′ .
Exprimer n et n ′ comme une somme de puissances de 2, montrer que n + n ′ = 255. Montrer que la
représentation binaire du nombre 255 − n est obtenue en remplaçant dans celle de n chaque 0 par un 1
et chaque 1 par un 0.
Exercice 2.23 Montrer que les mots de n bits permettent de représenter tous les entiers de 0 à 2 n − 1.
Inversement, combien de bits faut-il au minimum pour représenter tous les entiers dont l’écriture décimale
comporte n chiffres ?
Exercice 2.24 On cherche à mettre au point une procédure de calcul du produit de deux entiers naturels
représentés en binaire. Dans tout cet exercice, on pourra supposer par commodité que les entiers sont
représentés sur 32 bits ; la généralisation à un nombre de bits quelconque ne pose cependant pas de
difficulté particulière.
1 Pour multiplier par dix un entier naturel exprimé en base dix, il suffit d’ajouter un 0 à sa droite, par
exemple, 12 × 10 = 120. Quelle est l’opération équivalente pour les entiers naturels exprimés en base
deux ? Illustrer cette remarque par des exemples.
On appelle cette opération décalage à gauche, car dans les microprocesseurs, au lieu d’ajouter un 0 à
droite, on déplace tous les bits vers la gauche. Sur quels entiers cette opération n’est-elle pas possible
sans commettre d’erreur ?
2 Quelle est l’opération effectuée sur un entier naturel en base deux si on lui fait subir deux décalages à
gauche ? trois décalages ? n décalages ?
3 À l’aide des remarques précédentes, étant donnés deux entiers naturels n et m, exprimer le produit
n × m en fonction de n et de la décomposition m i . . . m 1 m 0 de m en base deux.
4 En déduire un algorithme pour effectuer le produit de deux entiers naturels représentés en base deux
utilisant uniquement :
• des additions ;
• des décalages à gauche ;
• des tests sur un bit d’un nombre.
Les multiplications effectuées par les microprocesseurs fonctionnent sur ce principe.