Livre_silo 30 août 2013 16:32 Page 352
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
352
Informatique pour tous
A.4 Résolution d’une équation du second degré
avec gestion de la comparaison à zéro
1 Écrire un programme qui, étant donnée une équation du second degré à coefficients
entiers, détermine le nombre de ses solutions et leurs valeurs éventuelles.
2 Tester ce programme pour l’équation x
2 + 6x + 9 = 0.
3 Adapter ce programme pour qu’il accepte des coefficients non entiers.
4 Tester ce second programme sur les équations x
2 + 10
−10 = 0 et x
2
− 10
−10 = 0.
Montrer qu’une infime variation sur l’un des coefficients fait franchir la ligne qui sépare
les cas où l’équation a des solutions des cas où elle n’en a pas.
5 Tester le second programme sur l’équation 0, 1x
2 + 0, 6x + 0, 9 = 0. Comparer les
résultats avec ceux obtenus à la question 2. Que doit-on en penser ? Comment expliquet-on ce phénomène ?
6 Tester ce second programme sur l’équation x
2 + (1 + 2
−50 )x + 0, 25 + 2
−51 = 0
et comparer les résultats obtenus avec ceux que prévoit la résolution exacte de cette
équation. Expliquer encore une fois les différences constatées.
7 On travaille pour cette question sous l’hypothèse (raisonnable vus les calculs effectués)
que la norme IEEE 754 assure les propriétés suivantes des arrondis :
• Si le discriminant est strictement positif, alors sa valeur approchée calculée est positive
ou nulle.
• De même, si le discriminant est strictement négatif, alors sa valeur approchée calculée
est négative ou nulle.
• Enfin, si le discriminant est nul, sa valeur approchée calculée peut être quelconque.
Adapter alors ce programme pour qu’il n’affiche que des affirmations certaines à propos
des polynômes qui lui sont fournis.
8 Enfin, on peut quantifier l’erreur commise sur le calcul du discriminant. On a vu dans
l’exercice 2.54 que l’erreur relative introduite par une multiplication est de 2
−52 : quelle
est donc l’erreur relative maximale commise dans le calcul du discriminant ? En-dessous
de quel seuil doit-on considérer que le discriminant pourrait être nul ? Adapter le programme en conséquence.
A.5 Représentation des nombres
dans les calculatrices scientifiques
Dans la plupart des calculatrices scientifiques, les nombres sont représentés non pas en
base 2 comme dans les ordinateurs, mais directement en base 10.
1 Dans un premier temps, on peut supposer que chaque chiffre décimal est codé sur un
groupe de bits distinct. Combien de bits sont nécessaires pour coder un chiffre décimal ?
Combien de nombres différents peut-on coder en binaire sur ce même nombre de bits ?
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
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Informatique pour tous
A.4 Résolution d’une équation du second degré
avec gestion de la comparaison à zéro
1 Écrire un programme qui, étant donnée une équation du second degré à coefficients
entiers, détermine le nombre de ses solutions et leurs valeurs éventuelles.
2 Tester ce programme pour l’équation x
2 + 6x + 9 = 0.
3 Adapter ce programme pour qu’il accepte des coefficients non entiers.
4 Tester ce second programme sur les équations x
2 + 10
−10 = 0 et x
2
− 10
−10 = 0.
Montrer qu’une infime variation sur l’un des coefficients fait franchir la ligne qui sépare
les cas où l’équation a des solutions des cas où elle n’en a pas.
5 Tester le second programme sur l’équation 0, 1x
2 + 0, 6x + 0, 9 = 0. Comparer les
résultats avec ceux obtenus à la question 2. Que doit-on en penser ? Comment expliquet-on ce phénomène ?
6 Tester ce second programme sur l’équation x
2 + (1 + 2
−50 )x + 0, 25 + 2
−51 = 0
et comparer les résultats obtenus avec ceux que prévoit la résolution exacte de cette
équation. Expliquer encore une fois les différences constatées.
7 On travaille pour cette question sous l’hypothèse (raisonnable vus les calculs effectués)
que la norme IEEE 754 assure les propriétés suivantes des arrondis :
• Si le discriminant est strictement positif, alors sa valeur approchée calculée est positive
ou nulle.
• De même, si le discriminant est strictement négatif, alors sa valeur approchée calculée
est négative ou nulle.
• Enfin, si le discriminant est nul, sa valeur approchée calculée peut être quelconque.
Adapter alors ce programme pour qu’il n’affiche que des affirmations certaines à propos
des polynômes qui lui sont fournis.
8 Enfin, on peut quantifier l’erreur commise sur le calcul du discriminant. On a vu dans
l’exercice 2.54 que l’erreur relative introduite par une multiplication est de 2
−52 : quelle
est donc l’erreur relative maximale commise dans le calcul du discriminant ? En-dessous
de quel seuil doit-on considérer que le discriminant pourrait être nul ? Adapter le programme en conséquence.
A.5 Représentation des nombres
dans les calculatrices scientifiques
Dans la plupart des calculatrices scientifiques, les nombres sont représentés non pas en
base 2 comme dans les ordinateurs, mais directement en base 10.
1 Dans un premier temps, on peut supposer que chaque chiffre décimal est codé sur un
groupe de bits distinct. Combien de bits sont nécessaires pour coder un chiffre décimal ?
Combien de nombres différents peut-on coder en binaire sur ce même nombre de bits ?