Livre_silo 30 août 2013 16:32 Page 243
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
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9 – Résolution numérique d’équations différentielles
exp-plicite.pdf
Figure 9.19
Euler explicite. Cette fois, il faut h plus petit, sans quoi il y a divergence.
Pour le mathématicien
Exercice 9.14 Montrer que pour la méthode de Heun, l’erreur de consistance dans la résolution de y ′ = y
sur [0, 1] avec y(0) = 1 est équivalente à
e − 1
6n 2 ·
Exercice 9.15 Le portrait de phase associé à la matrice A =
(
0 −1
1
0
)
est représenté figure 9.20 ; il
est constitué de trajectoires de couples (x, y) vérifiant le système différentiel autonome Z ′ = AZ, avec
Z =
(
x
y
)
.
Représenter les portraits de phase correspondant aux matrices suivantes :
(
−0.2
−1
1
−0.2
)
,
(
1 0
0 2
)
,
(
1
0
0 −2
)
,
(
1 1
0 1
)
On pourra par exemple écrire np.dot(A,x) pour faire un produit matriciel. La figure 9.21 montre ce que
l’on pourra obtenir (dans le dernier cas, il faut batailler un peu pour trouver des conditions initiales satisfaisantes).
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9 – Résolution numérique d’équations différentielles
exp-plicite.pdf
Figure 9.19
Euler explicite. Cette fois, il faut h plus petit, sans quoi il y a divergence.
Pour le mathématicien
Exercice 9.14 Montrer que pour la méthode de Heun, l’erreur de consistance dans la résolution de y ′ = y
sur [0, 1] avec y(0) = 1 est équivalente à
e − 1
6n 2 ·
Exercice 9.15 Le portrait de phase associé à la matrice A =
(
0 −1
1
0
)
est représenté figure 9.20 ; il
est constitué de trajectoires de couples (x, y) vérifiant le système différentiel autonome Z ′ = AZ, avec
Z =
(
x
y
)
.
Représenter les portraits de phase correspondant aux matrices suivantes :
(
−0.2
−1
1
−0.2
)
,
(
1 0
0 2
)
,
(
1
0
0 −2
)
,
(
1 1
0 1
)
On pourra par exemple écrire np.dot(A,x) pour faire un produit matriciel. La figure 9.21 montre ce que
l’on pourra obtenir (dans le dernier cas, il faut batailler un peu pour trouver des conditions initiales satisfaisantes).