Livre_silo 30 août 2013 16:32 Page 239
¨
©
¨
©
¨
©
¨
©
C o p y r i g h t E y r o l l e s
239
9 – Résolution numérique d’équations différentielles
9.4 Exercices
Pour l’informaticien
Exercice 9.7 La méthode de Heun consiste à remplacer dans celle d’Euler la relation :
y k+1 = y k + hF (t k , y k )
par :
y k+1 = y k +
h
2
(F (t k , y k ) + F (t k+1 , y k + hF (t k , y k ))) .
1 Expliquer qualitativement en quoi cela doit améliorer la précision.
2 Programmer la méthode de Heun.
3 Calculer puis représenter les solutions approchées par la méthode de Heun de y ′ = y avec la condition
initiale y(0) = 1.
Le calcul de y k+1 fait intervenir la moyenne des dérivées de y estimées en t k et t k+1 . Pour une fonction
convexe, la première constitue un minorant de l’accroissement de y entre t k et t k+1 , et la seconde en
constitue un majorant. La moyenne des deux est donc encadrée par ces deux bornes.
Pour la réalisation informatique, il n’y a qu’à écrire y = y + h/2 * (F(t, y) + (F(t+h, y+h*F(t,y)))) à
la place de y = y + h * F(t, y). Même avec des pas modestes, l’approximation n’est pas trop mauvaise
(voir figure 9.14), et en tout cas bien meilleure qu’avec la méthode d’Euler.
exp3heun.pdf
Figure 9.14
La méthode de Heun pour y ′ = y avec y(0) = 1, pour h = 1 et h = 0.5
Exercice 9.8 Reprendre l’exercice précédent, mais avec la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4. Cette fois,
le calcul de y k+1 à l’aide de y k passe par le calcul de trois valeurs intermédiaires :
α k = y k +
h
2
F (t k , y k ), β k = y k +
h
2
F (t k + h/2, α k ), γ k = y k + hF (t k + h/2, β k )
¨
©
¨
©
¨
©
¨
©
C o p y r i g h t E y r o l l e s
239
9 – Résolution numérique d’équations différentielles
9.4 Exercices
Pour l’informaticien
Exercice 9.7 La méthode de Heun consiste à remplacer dans celle d’Euler la relation :
y k+1 = y k + hF (t k , y k )
par :
y k+1 = y k +
h
2
(F (t k , y k ) + F (t k+1 , y k + hF (t k , y k ))) .
1 Expliquer qualitativement en quoi cela doit améliorer la précision.
2 Programmer la méthode de Heun.
3 Calculer puis représenter les solutions approchées par la méthode de Heun de y ′ = y avec la condition
initiale y(0) = 1.
Le calcul de y k+1 fait intervenir la moyenne des dérivées de y estimées en t k et t k+1 . Pour une fonction
convexe, la première constitue un minorant de l’accroissement de y entre t k et t k+1 , et la seconde en
constitue un majorant. La moyenne des deux est donc encadrée par ces deux bornes.
Pour la réalisation informatique, il n’y a qu’à écrire y = y + h/2 * (F(t, y) + (F(t+h, y+h*F(t,y)))) à
la place de y = y + h * F(t, y). Même avec des pas modestes, l’approximation n’est pas trop mauvaise
(voir figure 9.14), et en tout cas bien meilleure qu’avec la méthode d’Euler.
exp3heun.pdf
Figure 9.14
La méthode de Heun pour y ′ = y avec y(0) = 1, pour h = 1 et h = 0.5
Exercice 9.8 Reprendre l’exercice précédent, mais avec la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4. Cette fois,
le calcul de y k+1 à l’aide de y k passe par le calcul de trois valeurs intermédiaires :
α k = y k +
h
2
F (t k , y k ), β k = y k +
h
2
F (t k + h/2, α k ), γ k = y k + hF (t k + h/2, β k )