Livre_silo 30 août 2013 16:32 Page 237
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
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9 – Résolution numérique d’équations différentielles
9.3.4 Où on observe quelques limitations
On reprend le cas limite du pendule non amorti. La figure 9.11 a été obtenue sur la plage
de temps [0, 30] avec quatre méthodes de résolution différentes et les pas utilisés pour les
résolutions hors odeint valent 0.01. Aucune méthode ne renvoie une solution convergeant
vers π. Lorsque
(
θ(t), ˙
θ(t)
)
est proche de (π
− , 0
+ ), les approximations peuvent faire que
ce couple prend une valeur de la forme (π + ε 1 , ε 2 ) (ε 1 , ε 2 > 0) : le pendule bascule de
l’autre côté. Cependant,
(
θ(t), ˙
θ(t)
)
peut prendre une valeur de la forme (π − ε 1 , −ε 2 ) et
le pendule revient en arrière ! C’est ce qui se passe lors de la résolution avec la méthode de
Runge-Kutta d’ordre 4.
Finalement, la résolution numérique conduit aux mêmes résultats que l’expérimentation !
pendule-limite.pdf
Figure 9.11
Le pendule non amorti dans le
cas limite : quatre résolutions
différentes
On va maintenant observer l’allure des solutions de l’équation y
′′ = y
′ + 6y, avec les
conditions initiales y(0) = −1 et y
′ (0) = 2. La solution est l’application t → −e
−2t et
une première résolution numérique confirme cela, figure 9.12. Si on regarde un peu plus
loin, et avec les quatre méthodes de résolution, c’est la catastrophe : elles divergent toutes
(figure 9.13). Pire : meilleure est la méthode et plus rapide est la divergence !
Exercice 9.6 avec corrigé * Expliquer le phénomène !
Les solutions de l’équation différentielle (sans la condition initiale) sont des combinaisons linéaires de
t → e −2t et t → e 3t . Si une solution vérifie y(t 0 ) = α et y ′ (t 0 ) = β, alors y est de la forme t → γe −2t
si et seulement si β = −2α. Pour notre problème, cette condition était vérifiée. Néanmoins, dès les
premières étapes de la résolution, les petites approximations font que β + 2α sera non nul ; très petit (de
l’ordre de 2 −52 ), mais non nul. On cherche alors à résoudre une équation différentielle dont la solution
diverge, même si le facteur devant e 3t est faible.
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9 – Résolution numérique d’équations différentielles
9.3.4 Où on observe quelques limitations
On reprend le cas limite du pendule non amorti. La figure 9.11 a été obtenue sur la plage
de temps [0, 30] avec quatre méthodes de résolution différentes et les pas utilisés pour les
résolutions hors odeint valent 0.01. Aucune méthode ne renvoie une solution convergeant
vers π. Lorsque
(
θ(t), ˙
θ(t)
)
est proche de (π
− , 0
+ ), les approximations peuvent faire que
ce couple prend une valeur de la forme (π + ε 1 , ε 2 ) (ε 1 , ε 2 > 0) : le pendule bascule de
l’autre côté. Cependant,
(
θ(t), ˙
θ(t)
)
peut prendre une valeur de la forme (π − ε 1 , −ε 2 ) et
le pendule revient en arrière ! C’est ce qui se passe lors de la résolution avec la méthode de
Runge-Kutta d’ordre 4.
Finalement, la résolution numérique conduit aux mêmes résultats que l’expérimentation !
pendule-limite.pdf
Figure 9.11
Le pendule non amorti dans le
cas limite : quatre résolutions
différentes
On va maintenant observer l’allure des solutions de l’équation y
′′ = y
′ + 6y, avec les
conditions initiales y(0) = −1 et y
′ (0) = 2. La solution est l’application t → −e
−2t et
une première résolution numérique confirme cela, figure 9.12. Si on regarde un peu plus
loin, et avec les quatre méthodes de résolution, c’est la catastrophe : elles divergent toutes
(figure 9.13). Pire : meilleure est la méthode et plus rapide est la divergence !
Exercice 9.6 avec corrigé * Expliquer le phénomène !
Les solutions de l’équation différentielle (sans la condition initiale) sont des combinaisons linéaires de
t → e −2t et t → e 3t . Si une solution vérifie y(t 0 ) = α et y ′ (t 0 ) = β, alors y est de la forme t → γe −2t
si et seulement si β = −2α. Pour notre problème, cette condition était vérifiée. Néanmoins, dès les
premières étapes de la résolution, les petites approximations font que β + 2α sera non nul ; très petit (de
l’ordre de 2 −52 ), mais non nul. On cherche alors à résoudre une équation différentielle dont la solution
diverge, même si le facteur devant e 3t est faible.