Livre_silo 30 août 2013 16:32 Page 220
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
220
Informatique pour tous
De nombreux phénomènes physiques se modélisent à l’aide d’équations différentielles pour
lesquelles on ne dispose pas de solutions analytiques : un pendule amorti nous amène à
étudier l’équation ¨
θ = −k 1 sin θ − k 2 ˙
θ, les problèmes de cinétique chimique conduisent
à des systèmes différentiels non linéaires décrivant les évolutions de différents réactifs au
cours du temps, et les phénomènes qu’on observe en mécanique des fluides sont en partie
décrits par les équations aux dérivées partielles non linéaires de type Navier-Stokes.
En mathématiques, ces équations ont leur intérêt propre et étudier le comportement qualitatif de solutions est nettement plus aisé si on peut visualiser une approximation raisonnable de celles-ci.
9.1 Méthode d’Euler
Le théorème de Cauchy-Lipschitz assure ¹ que sous des conditions raisonnables, il existe
une unique application y de classe C
1 sur [a, b] dont la valeur est imposée en a et qui vérifie
une équation de la forme y
′ (t) = F (t, y(t)) pour tout t ∈ [a, b]. L’objet des schémas numériques est d’obtenir des approximations de ces solutions dont la théorie donne l’existence
de façon non constructive. En pratique, on tente en général d’approcher y en un certain
nombre de points répartis sur l’intervalle [a, b].
9.1.1 Principe de la méthode d’Euler
Il s’agit de calculer une approximation y k des y(t k ), avec t k = a + kh, où h =
b − a
n
est
un pas qu’il conviendra d’ajuster. De façon très simple, si on écrit :
y(t k+1 ) − y(t k ) =
∫ t k+1
t k
y
′ (u)du =
∫ t k+1
t k
F (u, y(u))du ≃ hF (t k , y(t k )),
alors on obtient la méthode d’Euler : les approximations sont calculées de proche en proche
via la formule suivante : y k+1 = y k + hF (t k , y k ) (voir figure 9.1). On initialise bien
entendu avec y 0 = y(a), qui sera la seule valeur « exacte » calculée.
Graphiquement, cela revient à faire des approximations successives de courbes par des
tangentes. On va prendre pour exemple l’équation différentielle y
′ (t) = y(t) (dont les solutions sont les t → Ke
t ) et on va approcher sur [0, 1] l’unique solution telle que y(0) = 1,
autrement dit la fonction exponentielle. Pour n = 3, c’est-à-dire un pas de
1
3
, on obtient
la figure 9.2.
1. Comme vu en cours de mathématiques, c’est évidemment plus compliqué. Par exemple, si F n’est pas
linéaire vis-à-vis de y, on est juste assuré de l’existence d’une solution dont la valeur en a est imposée, mais on
ne sait pas si elle est définie jusqu’en b.
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
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Informatique pour tous
De nombreux phénomènes physiques se modélisent à l’aide d’équations différentielles pour
lesquelles on ne dispose pas de solutions analytiques : un pendule amorti nous amène à
étudier l’équation ¨
θ = −k 1 sin θ − k 2 ˙
θ, les problèmes de cinétique chimique conduisent
à des systèmes différentiels non linéaires décrivant les évolutions de différents réactifs au
cours du temps, et les phénomènes qu’on observe en mécanique des fluides sont en partie
décrits par les équations aux dérivées partielles non linéaires de type Navier-Stokes.
En mathématiques, ces équations ont leur intérêt propre et étudier le comportement qualitatif de solutions est nettement plus aisé si on peut visualiser une approximation raisonnable de celles-ci.
9.1 Méthode d’Euler
Le théorème de Cauchy-Lipschitz assure ¹ que sous des conditions raisonnables, il existe
une unique application y de classe C
1 sur [a, b] dont la valeur est imposée en a et qui vérifie
une équation de la forme y
′ (t) = F (t, y(t)) pour tout t ∈ [a, b]. L’objet des schémas numériques est d’obtenir des approximations de ces solutions dont la théorie donne l’existence
de façon non constructive. En pratique, on tente en général d’approcher y en un certain
nombre de points répartis sur l’intervalle [a, b].
9.1.1 Principe de la méthode d’Euler
Il s’agit de calculer une approximation y k des y(t k ), avec t k = a + kh, où h =
b − a
n
est
un pas qu’il conviendra d’ajuster. De façon très simple, si on écrit :
y(t k+1 ) − y(t k ) =
∫ t k+1
t k
y
′ (u)du =
∫ t k+1
t k
F (u, y(u))du ≃ hF (t k , y(t k )),
alors on obtient la méthode d’Euler : les approximations sont calculées de proche en proche
via la formule suivante : y k+1 = y k + hF (t k , y k ) (voir figure 9.1). On initialise bien
entendu avec y 0 = y(a), qui sera la seule valeur « exacte » calculée.
Graphiquement, cela revient à faire des approximations successives de courbes par des
tangentes. On va prendre pour exemple l’équation différentielle y
′ (t) = y(t) (dont les solutions sont les t → Ke
t ) et on va approcher sur [0, 1] l’unique solution telle que y(0) = 1,
autrement dit la fonction exponentielle. Pour n = 3, c’est-à-dire un pas de
1
3
, on obtient
la figure 9.2.
1. Comme vu en cours de mathématiques, c’est évidemment plus compliqué. Par exemple, si F n’est pas
linéaire vis-à-vis de y, on est juste assuré de l’existence d’une solution dont la valeur en a est imposée, mais on
ne sait pas si elle est définie jusqu’en b.