Livre_silo 30 août 2013 16:32 Page 213
¨
©
¨
©
¨
©
¨
©
C o p y r i g h t E y r o l l e s
213
8 – Résolution numérique d’équations sur les réels
Exercice 8.10 * Si A est une matrice symétrique réelle définie positive, alors on peut montrer que la suite
définie par M 0 = In et la relation de récurrence M p+1 =
1
2
(
Mp + AM
−1
p
)
est bien définie, et que ses
termes sont des matrices symétriques définies positives convergeant vers B qui est la matrice symétrique
réelle définie positive de carré égal à A.
1 Trouver une condition d’arrêt raisonnable pour transformer ce résultat de mathématiques en algorithme
effectif.
2 Programmer cet algorithme. Évaluer sa complexité.
3 Tester le programme sur des matrices définies positives, telles que celles de Virginie puis de Hilbert,
définies au chapitre précédent.
4 Démontrer, à titre d’exercice de mathématiques, le résultat admis dans l’énoncé.
bifurcations.jpeg
Figure 8.7
Diagramme de bifurcation : le chaos s’installe...
Exercice 8.11 * Si on applique la méthode de Newton à l’application complexe z → z 3 − 1, on obtient
une suite qui converge (sauf pour un ensemble dénombrable de valeurs initiales) vers 1, j = e 2iπ/3 ou j 2 .
Vérifier expérimentalement cette affirmation.
Le lecteur courageux construisant un graphique représentant pour chaque valeur initiale la valeur limite à
l’aide d’un point d’une certaine couleur... sera bien récompensé de ses efforts ! Les ensembles représentés
s’appellent des bassins d’attraction et sont ici des fractals.
¨
©
¨
©
¨
©
¨
©
C o p y r i g h t E y r o l l e s
213
8 – Résolution numérique d’équations sur les réels
Exercice 8.10 * Si A est une matrice symétrique réelle définie positive, alors on peut montrer que la suite
définie par M 0 = In et la relation de récurrence M p+1 =
1
2
(
Mp + AM
−1
p
)
est bien définie, et que ses
termes sont des matrices symétriques définies positives convergeant vers B qui est la matrice symétrique
réelle définie positive de carré égal à A.
1 Trouver une condition d’arrêt raisonnable pour transformer ce résultat de mathématiques en algorithme
effectif.
2 Programmer cet algorithme. Évaluer sa complexité.
3 Tester le programme sur des matrices définies positives, telles que celles de Virginie puis de Hilbert,
définies au chapitre précédent.
4 Démontrer, à titre d’exercice de mathématiques, le résultat admis dans l’énoncé.
bifurcations.jpeg
Figure 8.7
Diagramme de bifurcation : le chaos s’installe...
Exercice 8.11 * Si on applique la méthode de Newton à l’application complexe z → z 3 − 1, on obtient
une suite qui converge (sauf pour un ensemble dénombrable de valeurs initiales) vers 1, j = e 2iπ/3 ou j 2 .
Vérifier expérimentalement cette affirmation.
Le lecteur courageux construisant un graphique représentant pour chaque valeur initiale la valeur limite à
l’aide d’un point d’une certaine couleur... sera bien récompensé de ses efforts ! Les ensembles représentés
s’appellent des bassins d’attraction et sont ici des fractals.