Livre_silo 30 août 2013 16:32 Page 210
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
210
Informatique pour tous
precision-newton.pdf
Figure 8.6
Vitesse de convergence de la méthode de Newton
8.3 Quelle méthode choisir ?
8.3.1 Bien cerner le contexte
On ne peut pas écrire une méthode universelle de résolution numérique d’équation de la
forme f (x) = 0. Une fois que ceci est accepté, on peut chercher le meilleur compromis.
• Si on cherche la simplicité et la robustesse, la méthode dichotomique s’impose : la continuité de la fonction et un premier intervalle [a, b] tel que f (a)f (b) ⩽ 0 sont suffisants.
La lenteur de cette méthode est toute relative.
• Si on connaît une bonne approximation d’un zéro et si on cherche la rapidité, alors on
peut appliquer une méthode de la famille de Newton : la méthode de Newton proprement dite si on connaît f
′ ou si on décide de l’approcher numériquement, la méthode
de la sécante si on ne peut/veut pas évaluer f
′ (voir l’exercice 8.12) ou encore la méthode
de Halley (qui est cubique) si on connaît f
′ et f
′′ .
• Dans des situations intermédiaires, on peut pratiquer des méthodes mixtes, avec une
première phase de localisation de zéros par dichotomie, puis des itérations de Newton.
Si ces itérations de Newton ne semblent pas converger, on peut reprendre une phase de
dichotomie, etc.
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
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Informatique pour tous
precision-newton.pdf
Figure 8.6
Vitesse de convergence de la méthode de Newton
8.3 Quelle méthode choisir ?
8.3.1 Bien cerner le contexte
On ne peut pas écrire une méthode universelle de résolution numérique d’équation de la
forme f (x) = 0. Une fois que ceci est accepté, on peut chercher le meilleur compromis.
• Si on cherche la simplicité et la robustesse, la méthode dichotomique s’impose : la continuité de la fonction et un premier intervalle [a, b] tel que f (a)f (b) ⩽ 0 sont suffisants.
La lenteur de cette méthode est toute relative.
• Si on connaît une bonne approximation d’un zéro et si on cherche la rapidité, alors on
peut appliquer une méthode de la famille de Newton : la méthode de Newton proprement dite si on connaît f
′ ou si on décide de l’approcher numériquement, la méthode
de la sécante si on ne peut/veut pas évaluer f
′ (voir l’exercice 8.12) ou encore la méthode
de Halley (qui est cubique) si on connaît f
′ et f
′′ .
• Dans des situations intermédiaires, on peut pratiquer des méthodes mixtes, avec une
première phase de localisation de zéros par dichotomie, puis des itérations de Newton.
Si ces itérations de Newton ne semblent pas converger, on peut reprendre une phase de
dichotomie, etc.