Livre_silo 30 août 2013 16:32 Page 204
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
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Informatique pour tous
de c et d dont l’image est la plus faible, on fait un appel de plus à f, mais on obtient de
façon presque certaine un résultat dont la précision s’améliorera lorsque ε diminuera (voir
figure 8.2).
precision-dicho.pdf
Figure 8.2
Précision, en fonction du choix de la valeur renvoyée et du nombre d’itérations
Exercice 8.2 Remplacer la valeur renvoyée par une moyenne de c et d pondérée à l’aide de f (c) et f (d)
(pour privilégier celui dont l’image est la plus faible). Comparer avec les deux autres possibilités discutées.
8.2 Méthode de Newton
8.2.1 Extraction de racine
On reprend l’exemple 1 en partant d’une valeur initiale u 0 = 2 et on suit la tangente du
graphe de f : x → x
2
− 2 depuis le point d’abscisse 2. L’intersection de cette tangente
avec l’axe des abscisses donne une nouvelle valeur u 1 = 1.5 — qui aurait été un zéro de f
si cette dernière avait été affine. On reprend la tangente depuis le point d’abscisse u 1 , pour
trouver une nouvelle valeur u 2 ≃ 1.4167. Ce procédé est illustré figure 8.3.
On se convainc facilement que la suite (u n ) n∈N va converger rapidement vers
√
2. C’est
un exercice classique de mathématiques que de démontrer cette convergence. On peut par
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
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Informatique pour tous
de c et d dont l’image est la plus faible, on fait un appel de plus à f, mais on obtient de
façon presque certaine un résultat dont la précision s’améliorera lorsque ε diminuera (voir
figure 8.2).
precision-dicho.pdf
Figure 8.2
Précision, en fonction du choix de la valeur renvoyée et du nombre d’itérations
Exercice 8.2 Remplacer la valeur renvoyée par une moyenne de c et d pondérée à l’aide de f (c) et f (d)
(pour privilégier celui dont l’image est la plus faible). Comparer avec les deux autres possibilités discutées.
8.2 Méthode de Newton
8.2.1 Extraction de racine
On reprend l’exemple 1 en partant d’une valeur initiale u 0 = 2 et on suit la tangente du
graphe de f : x → x
2
− 2 depuis le point d’abscisse 2. L’intersection de cette tangente
avec l’axe des abscisses donne une nouvelle valeur u 1 = 1.5 — qui aurait été un zéro de f
si cette dernière avait été affine. On reprend la tangente depuis le point d’abscisse u 1 , pour
trouver une nouvelle valeur u 2 ≃ 1.4167. Ce procédé est illustré figure 8.3.
On se convainc facilement que la suite (u n ) n∈N va converger rapidement vers
√
2. C’est
un exercice classique de mathématiques que de démontrer cette convergence. On peut par