Livre_silo 30 août 2013 16:32 Page 192
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
192
Informatique pour tous
Montrer :
∥δX∥
∥X∥
⩽
|λn|
|λ 1 |
×
∥δY ∥
∥Y ∥
·
Exercice 7.11 Conditionnement : cas diagonal, erreur sur la matrice. On suppose que A et δA sont
des matrices diagonales avec les notations A = Diag(λ 1 , ..., λn) et δA = Diag(δλ 1 , ..., δλn), et de
plus :
0 < |λ 1 | ⩽ · · · ⩽ |λn| .
On suppose : AX = Y , (A + δA)(X + δX) = Y et on munit R n de la norme euclidienne canonique.
Montrer :
∥δX∥
∥X + δX∥
⩽
|λn|
|λ 1 |
×
|||δA|||
|||A|||
,
avec ||| ||| la norme subordonnée à ∥ ∥.
Dans les exercices précédents, λ n est la valeur propre la plus grande (en module), mais
son module est aussi la norme de A (pour la norme subordonnée à la norme euclidienne
sur R
n ). De même,
1
|λ 1 |
est égal à |||A
−1
|||. Ce sont bien ces quantités qui, dans le cas
général, vont permettre de quantifier les propagations d’erreurs dans les résolutions de
système.
Si A ∈ M n (R) est inversible, son conditionnement, noté en général κ(A), associé à une
norme ∥ ∥ de R
n est défini par :
κ(A) = |||A|||.|||A
−1
|||.
Avec cette définition, on retrouve dans le cas général les résultats vus plus haut dans un
cas particulier.
éorème. Contrôle des erreurs par le conditionnement.
• Si AX = Y et A(X + δX) = Y + δY , alors
∥δX∥
∥X∥
⩽ κ(A)
∥δY ∥
∥Y ∥
·
• Si AX = Y et (A + δA)(X + δX) = Y , alors
∥δX∥
∥X + δX∥
⩽ κ(A)
|||δA|||
|||A|||
·
On peut même améliorer la dernière inégalité :
∥δX∥
∥X∥
⩽ κ(A)
|||δA|||
|||A|||
(1 + O(|||δA|||)), le
grand O étant à prendre au sens de : lorsque δA tend vers 0.
7.4.3 Quelques exemples caractéristiques
Ce petit bestiaire a pour objectif de rassurer le lecteur : en général, le conditionnement
d’une matrice n’ est pas mauvais. Il faut essentiellement craindre les matrices à petites valeurs propres.