Livre_silo 30 août 2013 16:32 Page 181
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
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7 – Pivot de Gauss et résolution de systèmes
Un système linéaire peut être vu comme une équation matricielle : le système de l’exemple 2
se traduit par AX = Y , avec A =
2
2 −3
−2 −1 −3
6
4
4
, X =
x
y
z
et Y =
2
−5
16
.
Il est équivalent au système U X = Y
′ , avec U =
2 2 −3
0 1 −6
0 0 1
et Y
′ =
2
−3
4
.
Lorsque i ̸ = j, faire l’opération élémentaire L i ← L i +λL j revient à multiplier (à gauche)
la matrice A par la matrice de transvection T i,j (λ) de terme général :
t k,l =
1 si k = l,
λ si k = i et l = j,
0 sinon.
De même, des transvections sur les colonnes (inutiles pour les systèmes de Cramer) correspondraient à des multiplications à droite par des matrices de transvection.
Dans ce cadre, on peut interpréter ainsi la résolution de AX = Y : on a trouvé N matrices de transvection (ou d’échange) T 1 , ..., T N telles que AX = Y soit équivalent à
T N T N −1 ...T 1
T
AX = Y
′ . Les substitutions de la phase de remontée s’interprètent à nouveau comme des opérations sur les lignes, de sorte qu’on arrive à un système de la forme
S M S M −1 ...S 1
S
T AX = Y
′′ , avec ST A = I n . Ainsi, le système initial AX = Y est
équivalent à X = Y
′′ : on a bien résolu le système.
Si enfin on s’intéresse à A supposée inversible sans chercher à résoudre AX = Y , on
adapte facilement la méthode de résolution de cette dernière pour expliciter T inversible
telle que T A soit triangulaire supérieure, puis S telle que ST A = I n : la matrice ST est
alors l’inverse de A.
Exercice 7.6 Vérifier que l’opération élémentaire L i ← L i + λL j revient à multiplier A à gauche par
T i,j (λ). (Presque) sans calcul, démontrer que T i,j (λ) est inversible et déterminer son inverse.
Exercice 7.7 Interpréter les échanges de lignes L i ↔ L j et les dilatations L i ← λL i (avec λ ̸ = 0)
comme des multiplications par des matrices particulières.
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
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7 – Pivot de Gauss et résolution de systèmes
Un système linéaire peut être vu comme une équation matricielle : le système de l’exemple 2
se traduit par AX = Y , avec A =
2
2 −3
−2 −1 −3
6
4
4
, X =
x
y
z
et Y =
2
−5
16
.
Il est équivalent au système U X = Y
′ , avec U =
2 2 −3
0 1 −6
0 0 1
et Y
′ =
2
−3
4
.
Lorsque i ̸ = j, faire l’opération élémentaire L i ← L i +λL j revient à multiplier (à gauche)
la matrice A par la matrice de transvection T i,j (λ) de terme général :
t k,l =
1 si k = l,
λ si k = i et l = j,
0 sinon.
De même, des transvections sur les colonnes (inutiles pour les systèmes de Cramer) correspondraient à des multiplications à droite par des matrices de transvection.
Dans ce cadre, on peut interpréter ainsi la résolution de AX = Y : on a trouvé N matrices de transvection (ou d’échange) T 1 , ..., T N telles que AX = Y soit équivalent à
T N T N −1 ...T 1
T
AX = Y
′ . Les substitutions de la phase de remontée s’interprètent à nouveau comme des opérations sur les lignes, de sorte qu’on arrive à un système de la forme
S M S M −1 ...S 1
S
T AX = Y
′′ , avec ST A = I n . Ainsi, le système initial AX = Y est
équivalent à X = Y
′′ : on a bien résolu le système.
Si enfin on s’intéresse à A supposée inversible sans chercher à résoudre AX = Y , on
adapte facilement la méthode de résolution de cette dernière pour expliciter T inversible
telle que T A soit triangulaire supérieure, puis S telle que ST A = I n : la matrice ST est
alors l’inverse de A.
Exercice 7.6 Vérifier que l’opération élémentaire L i ← L i + λL j revient à multiplier A à gauche par
T i,j (λ). (Presque) sans calcul, démontrer que T i,j (λ) est inversible et déterminer son inverse.
Exercice 7.7 Interpréter les échanges de lignes L i ↔ L j et les dilatations L i ← λL i (avec λ ̸ = 0)
comme des multiplications par des matrices particulières.