Livre_silo 30 août 2013 16:32 Page 179
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
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7 – Pivot de Gauss et résolution de systèmes
Pourtant, lors de sa résolution numérique par pivot de Gauss, après deux transvections, la troisième équation aura son membre de gauche nul. De même, la matrice
1 1 + 10
15
1
1 1 + 10
−15 2
0
10
15
1
est de rang 3, mais son calcul numérique par pivot risque de donner
2 comme résultat :
In [3]: rank(array([[1,1+10**15,1],[1,1+10**(-15),2],[0,10**15,1]]))
Out[3]: 2
On retrouve ainsi le simple exemple de l’exercice 7.4 : tester la nullité d’un flottant (ou
l’égalité de deux flottants) est fatalement trompeur et dangereux.
ATTENTION L’égalité et les flottants
Tester l’égalité de deux flottants n’a presque jamais de sens, est toujours risqué et doit donc
être évité... sauf bonnes raisons, qui sont alors à expliciter !
Pour le problème auquel on s’intéresse, les tests de nullité sont effectués pour trouver un
pivot. Si on sait que le système est de Cramer, on peut chercher sur la colonne en cours
le coefficient le plus élevé en valeur absolue (ou module). Cela n’interdit pas les mauvaises
surprises ⁴, mais cela marche en pratique plutôt bien. Cela s’appelle la méthode du pivot
partiel, qu’ on va exposer dans la section suivante.
7.1.4 Formalisation de l’algorithme
On fait ici l’hypothèse que le système initial est de Cramer. Les autres cas seront décrits
en cours de mathématiques. Il est important de noter que les opérations réalisées vont
introduire des systèmes équivalents au premier, qui demeureront donc des systèmes de
Cramer.
Comme signalé plus haut, on veut éliminer des variables dans les équations successives.
On va donc faire en sorte qu’après k étapes, pour tout i entre 1 et k, la i-ème variable ait
disparu de toutes les équations du système à partir de la (i + 1)-ème. Ce sera l’invariant
de boucle.
Ainsi, après la (n − 1)-ème étape, le système sera bien sous forme triangulaire.
4. On peut toujours construire des contre-exemples mettant en déroute cette technique.
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7 – Pivot de Gauss et résolution de systèmes
Pourtant, lors de sa résolution numérique par pivot de Gauss, après deux transvections, la troisième équation aura son membre de gauche nul. De même, la matrice
1 1 + 10
15
1
1 1 + 10
−15 2
0
10
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est de rang 3, mais son calcul numérique par pivot risque de donner
2 comme résultat :
In [3]: rank(array([[1,1+10**15,1],[1,1+10**(-15),2],[0,10**15,1]]))
Out[3]: 2
On retrouve ainsi le simple exemple de l’exercice 7.4 : tester la nullité d’un flottant (ou
l’égalité de deux flottants) est fatalement trompeur et dangereux.
ATTENTION L’égalité et les flottants
Tester l’égalité de deux flottants n’a presque jamais de sens, est toujours risqué et doit donc
être évité... sauf bonnes raisons, qui sont alors à expliciter !
Pour le problème auquel on s’intéresse, les tests de nullité sont effectués pour trouver un
pivot. Si on sait que le système est de Cramer, on peut chercher sur la colonne en cours
le coefficient le plus élevé en valeur absolue (ou module). Cela n’interdit pas les mauvaises
surprises ⁴, mais cela marche en pratique plutôt bien. Cela s’appelle la méthode du pivot
partiel, qu’ on va exposer dans la section suivante.
7.1.4 Formalisation de l’algorithme
On fait ici l’hypothèse que le système initial est de Cramer. Les autres cas seront décrits
en cours de mathématiques. Il est important de noter que les opérations réalisées vont
introduire des systèmes équivalents au premier, qui demeureront donc des systèmes de
Cramer.
Comme signalé plus haut, on veut éliminer des variables dans les équations successives.
On va donc faire en sorte qu’après k étapes, pour tout i entre 1 et k, la i-ème variable ait
disparu de toutes les équations du système à partir de la (i + 1)-ème. Ce sera l’invariant
de boucle.
Ainsi, après la (n − 1)-ème étape, le système sera bien sous forme triangulaire.
4. On peut toujours construire des contre-exemples mettant en déroute cette technique.