310
Statistique appliquée aux sciences de la vie
On appelle la vraisemblance de l’échantillon (en anglais : likelihhod) cette
probabilité L. On a ainsi (par exemple) :
• L = 0 si π = 0
• L = 0.0009 si π = 0.1
• L = 0.0625 si π = 0.5
• L = 0.1024 si π = 0.8
• L = 0 si π = 1.
Cette vraisemblance est donc une fonction de la véritable probabilité (inconnue)
π. Elle est plus élevée pour certaines valeurs de π que pour d’autres. Dans notre
exemple, la probabilité d’observer un échantillon semblable au nôtre serait ainsi
plus grande si on avait π = 0.8 que si on avait π = 0.5. L’estimateur du
maximum de vraisemblance consiste à estimer π par la valeur qui maximise
cette vraisemblance. Ce principe se généralise à des modèles plus compliqués.
Avec la méthode du maximum de vraisemblance, on estime les paramètres
d’un modèle par les valeurs maximisant la vraisemblance de l’échantillon.
Dans notre exemple, on recherche ainsi la valeur
π qui maximise la fonction
donnée par :
L(π) = π
3
· (1 − π).
Notons que le maximum de cette fonction est également le maximum du logarithme de cette fonction (que l’on appellera en anglais le log-likelihood) :
log L(π) = 3 log(π) + log(1 − π).
La transformation logarithmique nous permet de transformer un produit en une
somme, qui est plus facile à dériver mathématiquement. Dans notre exemple,
la dérivée de cette fonction est égale à 3/π − 1/(1 − π) et la solution de notre
problème est donc la solution de l’équation suivante :
3/ π − 1/(1 −
π) = 0
Notre estimation de π est donc
π = 3/4 = 0.75, valeur pour laquelle on obtient
la vraisemblance maximale de L = 0.1055.
Dans cet exemple, l’estimateur du maximum de vraisemblance de la probabilité que la pièce tombe sur pile est simplement la proportion de piles observée
dans notre échantillon. Ceci justifie en quelque sorte l’utilisation de la proportion empirique comme estimateur d’une proportion. De même, l’estimateur du
maximum de vraisemblance de la moyenne d’une population sera la moyenne
Statistique appliquée aux sciences de la vie
On appelle la vraisemblance de l’échantillon (en anglais : likelihhod) cette
probabilité L. On a ainsi (par exemple) :
• L = 0 si π = 0
• L = 0.0009 si π = 0.1
• L = 0.0625 si π = 0.5
• L = 0.1024 si π = 0.8
• L = 0 si π = 1.
Cette vraisemblance est donc une fonction de la véritable probabilité (inconnue)
π. Elle est plus élevée pour certaines valeurs de π que pour d’autres. Dans notre
exemple, la probabilité d’observer un échantillon semblable au nôtre serait ainsi
plus grande si on avait π = 0.8 que si on avait π = 0.5. L’estimateur du
maximum de vraisemblance consiste à estimer π par la valeur qui maximise
cette vraisemblance. Ce principe se généralise à des modèles plus compliqués.
Avec la méthode du maximum de vraisemblance, on estime les paramètres
d’un modèle par les valeurs maximisant la vraisemblance de l’échantillon.
Dans notre exemple, on recherche ainsi la valeur
π qui maximise la fonction
donnée par :
L(π) = π
3
· (1 − π).
Notons que le maximum de cette fonction est également le maximum du logarithme de cette fonction (que l’on appellera en anglais le log-likelihood) :
log L(π) = 3 log(π) + log(1 − π).
La transformation logarithmique nous permet de transformer un produit en une
somme, qui est plus facile à dériver mathématiquement. Dans notre exemple,
la dérivée de cette fonction est égale à 3/π − 1/(1 − π) et la solution de notre
problème est donc la solution de l’équation suivante :
3/ π − 1/(1 −
π) = 0
Notre estimation de π est donc
π = 3/4 = 0.75, valeur pour laquelle on obtient
la vraisemblance maximale de L = 0.1055.
Dans cet exemple, l’estimateur du maximum de vraisemblance de la probabilité que la pièce tombe sur pile est simplement la proportion de piles observée
dans notre échantillon. Ceci justifie en quelque sorte l’utilisation de la proportion empirique comme estimateur d’une proportion. De même, l’estimateur du
maximum de vraisemblance de la moyenne d’une population sera la moyenne