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Statistique appliquée aux sciences de la vie
Y = 1 dans les différents groupes, définis par les différentes combinaisons de
valeurs possibles des prédicteurs, sont alignés sur un hyperplan. On a ainsi :
log(odds(Y |X 1 = x 1 , · · · , X m = x m )) = β 0 + β 1 x 1 + · · · + β m x m
ce qui implique :
proportion(Y |X 1 = x 1 , · · · , X m = x m ) =
exp(β 0 + β 1 x 1 + · · · + β m x m )
1 + exp(β 0 + β 1 x 1 + · · · + β m x m )
.
L’interprétation des paramètres est la suivante :
• pour la constante, on a :
β 0 = log(odds(Y |X 1 = 0, · · · , X m = 0))
ce qui revient à dire :
exp(β 0 ) = odds(Y |X 1 = 0, · · · , X m = 0)
→ la constante est le logarithme de l’odds d’avoir Y = 1 dans le groupe
particulier X 1 = · · · = X m = 0
→ cet odds s’obtient en calculant l’exponentielle de cette constante
• pour la pente associée au prédicteur X 1 , on a pour n’importe quelle
valeur de x 1 :
log(odds(Y |X 1 = x 1 + 1, X 2 = x 2 , · · · , X m = x m ))
− log(odds(Y |X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , · · · , X m = x m )) =
β 0 + β 1 (x 1 + 1) + β 2 x 2 + · · · + β m x m
−(β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + · · · + β m x m )
et ainsi :
β 1 = log
odds(Y |X 1 = x 1 + 1, X 2 = x 2 , · · · , X m = x m )
odds(Y |X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , · · · , X m = x m )
c’est-à-dire :
exp(β 1 ) =
odds(Y |X 1 = x 1 + 1, X 2 = x 2 , · · · , X m = x m )
odds(Y |X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , · · · , X m = x m )
→ la pente associée à X 1 est le logarithme de l’odds-ratio comparant les
odds d’avoir Y = 1 entre deux groupes qui diffèrent d’une unité par rapport à X 1 , et qui sont identiques par rapport à tous les autres prédicteurs
→ cet odds-ratio s’obtient en calculant l’exponentielle de cette pente
Statistique appliquée aux sciences de la vie
Y = 1 dans les différents groupes, définis par les différentes combinaisons de
valeurs possibles des prédicteurs, sont alignés sur un hyperplan. On a ainsi :
log(odds(Y |X 1 = x 1 , · · · , X m = x m )) = β 0 + β 1 x 1 + · · · + β m x m
ce qui implique :
proportion(Y |X 1 = x 1 , · · · , X m = x m ) =
exp(β 0 + β 1 x 1 + · · · + β m x m )
1 + exp(β 0 + β 1 x 1 + · · · + β m x m )
.
L’interprétation des paramètres est la suivante :
• pour la constante, on a :
β 0 = log(odds(Y |X 1 = 0, · · · , X m = 0))
ce qui revient à dire :
exp(β 0 ) = odds(Y |X 1 = 0, · · · , X m = 0)
→ la constante est le logarithme de l’odds d’avoir Y = 1 dans le groupe
particulier X 1 = · · · = X m = 0
→ cet odds s’obtient en calculant l’exponentielle de cette constante
• pour la pente associée au prédicteur X 1 , on a pour n’importe quelle
valeur de x 1 :
log(odds(Y |X 1 = x 1 + 1, X 2 = x 2 , · · · , X m = x m ))
− log(odds(Y |X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , · · · , X m = x m )) =
β 0 + β 1 (x 1 + 1) + β 2 x 2 + · · · + β m x m
−(β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + · · · + β m x m )
et ainsi :
β 1 = log
odds(Y |X 1 = x 1 + 1, X 2 = x 2 , · · · , X m = x m )
odds(Y |X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , · · · , X m = x m )
c’est-à-dire :
exp(β 1 ) =
odds(Y |X 1 = x 1 + 1, X 2 = x 2 , · · · , X m = x m )
odds(Y |X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , · · · , X m = x m )
→ la pente associée à X 1 est le logarithme de l’odds-ratio comparant les
odds d’avoir Y = 1 entre deux groupes qui diffèrent d’une unité par rapport à X 1 , et qui sont identiques par rapport à tous les autres prédicteurs
→ cet odds-ratio s’obtient en calculant l’exponentielle de cette pente