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Statistique appliquée aux sciences de la vie
de Y (et non de Z), il s’agit de calculer la courbe suivante :
exp( z
∗ ) = exp(3.745 − 0.239x 1 + 0.00706x
2
1 )
qui est également représentée dans la figure 14.8. Nous laisserons le lecteur se
convaincre que cette courbe peut s’interpréter comme la médiane (et non comme
la moyenne) de la variable Y en fonction de l’âge X 1 (nous reviendrons sur cet
exemple un peu plus loin).
14.8 Inférence sur l’hyperplan de régression
Comme en régression simple, les hypothèses d’un modèle de régression linéaire multiple nous permettent de faire de l’inférence sur l’hyperplan de régression. Sous ces hypothèses, les coefficients
β 0 ,
β 1 , · · · ,
β m calculés sur notre
échantillon sont des estimateurs sans biais et normalement distribués des véritables paramètres β 0 , β 1 , · · · , β m définis sur la population
14 . Des formules
explicites sont par ailleurs disponibles pour les variances de ces estimateurs, de
sorte que l’on pourra utiliser la méthode de Wald pour faire de l’inférence
15 .
Cependant, les variances de ces estimateurs dépendent de la variance résiduelle
σ
2
ε . Cette variance résiduelle sera estimée sans biais par :
˜
σ
2
ε =
i
ε
2
i
n − m − 1
.
On divise ici la somme des carrés des résidus estimés non pas par n, ni par
n − 1, ni même par n − 2, mais par n − m − 1, qui constitue le nombre de
degrés de liberté de notre modèle de régression. On procédera ensuite de la
manière habituelle, en remplaçant la variance résiduelle σ
2
ε par son estimateur
˜
σ
2
ε dans les formules des variances des estimateurs. Ici aussi, on utilisera des
quantiles d’une distribution de Student (avec n − m − 1 dl) plutôt que des
quantiles d’une distribution normale standardisée dans le calcul d’un intervalle
de confiance pour les paramètres de la régression ou pour les tests statistiques
correspondants (voir ci-dessous). Sous les hypothèses du modèle, ces intervalles
de confiance et ces tests statistiques seront exacts, y compris pour de petits
échantillons à partir de n ≥ m + 2
16 .
14 Il s’ensuit que b
β 0 + b
β 1 x 1 + b
β 2 x 2 + · · · + b
βmxm est également un estimateur sans biais et
normalement distribué de β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + · · · + βmxm (la véritable moyenne de Y dans
le groupe défini par X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , · · · , Xm = xm).
15 En reprenant notre notation matricielle, la matrice donnée par :
Var( b
β) = σ
2
ε · (X
T X)
−1
contient sur sa diagonale les variances des estimateurs b
β 0 , b
β 1 , · · · , b
βm (les éléments hors
diagnonale de cette matrice étant les covariances entre ces estimateurs).
16 Bien que l’inférence soit exacte sous les hypothèses du modèle pour une taille d’échantillon
aussi petite que n = m + 2, on ne pourra pas vérifier ces hypothèses à partir d’un échantillon
aussi petit. Afin de pouvoir vérifier (au moins partiellement) ces hypothèses, il est souvent
recommandé d’avoir n ≥ 10·(m+1), c’est-à-dire d’avoir (au moins) dix fois plus d’observations
dans l’échantillon que de paramètres à estimer dans le modèle.
Statistique appliquée aux sciences de la vie
de Y (et non de Z), il s’agit de calculer la courbe suivante :
exp( z
∗ ) = exp(3.745 − 0.239x 1 + 0.00706x
2
1 )
qui est également représentée dans la figure 14.8. Nous laisserons le lecteur se
convaincre que cette courbe peut s’interpréter comme la médiane (et non comme
la moyenne) de la variable Y en fonction de l’âge X 1 (nous reviendrons sur cet
exemple un peu plus loin).
14.8 Inférence sur l’hyperplan de régression
Comme en régression simple, les hypothèses d’un modèle de régression linéaire multiple nous permettent de faire de l’inférence sur l’hyperplan de régression. Sous ces hypothèses, les coefficients
β 0 ,
β 1 , · · · ,
β m calculés sur notre
échantillon sont des estimateurs sans biais et normalement distribués des véritables paramètres β 0 , β 1 , · · · , β m définis sur la population
14 . Des formules
explicites sont par ailleurs disponibles pour les variances de ces estimateurs, de
sorte que l’on pourra utiliser la méthode de Wald pour faire de l’inférence
15 .
Cependant, les variances de ces estimateurs dépendent de la variance résiduelle
σ
2
ε . Cette variance résiduelle sera estimée sans biais par :
˜
σ
2
ε =
i
ε
2
i
n − m − 1
.
On divise ici la somme des carrés des résidus estimés non pas par n, ni par
n − 1, ni même par n − 2, mais par n − m − 1, qui constitue le nombre de
degrés de liberté de notre modèle de régression. On procédera ensuite de la
manière habituelle, en remplaçant la variance résiduelle σ
2
ε par son estimateur
˜
σ
2
ε dans les formules des variances des estimateurs. Ici aussi, on utilisera des
quantiles d’une distribution de Student (avec n − m − 1 dl) plutôt que des
quantiles d’une distribution normale standardisée dans le calcul d’un intervalle
de confiance pour les paramètres de la régression ou pour les tests statistiques
correspondants (voir ci-dessous). Sous les hypothèses du modèle, ces intervalles
de confiance et ces tests statistiques seront exacts, y compris pour de petits
échantillons à partir de n ≥ m + 2
16 .
14 Il s’ensuit que b
β 0 + b
β 1 x 1 + b
β 2 x 2 + · · · + b
βmxm est également un estimateur sans biais et
normalement distribué de β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + · · · + βmxm (la véritable moyenne de Y dans
le groupe défini par X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , · · · , Xm = xm).
15 En reprenant notre notation matricielle, la matrice donnée par :
Var( b
β) = σ
2
ε · (X
T X)
−1
contient sur sa diagonale les variances des estimateurs b
β 0 , b
β 1 , · · · , b
βm (les éléments hors
diagnonale de cette matrice étant les covariances entre ces estimateurs).
16 Bien que l’inférence soit exacte sous les hypothèses du modèle pour une taille d’échantillon
aussi petite que n = m + 2, on ne pourra pas vérifier ces hypothèses à partir d’un échantillon
aussi petit. Afin de pouvoir vérifier (au moins partiellement) ces hypothèses, il est souvent
recommandé d’avoir n ≥ 10·(m+1), c’est-à-dire d’avoir (au moins) dix fois plus d’observations
dans l’échantillon que de paramètres à estimer dans le modèle.