14. Régression linéaire multiple
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qu’il n’y ait pas d’association entre la rapidité et la qualité des mouvements
6 .
14.5 Corrélation partielle
On a vu au chapitre 13 qu’une pente de régression et une corrélation sont
deux résumés possibles (mais apportant une information différente) de l’association statistique entre deux variables continues. On a également vu dans
la section précédente comment on peut ajuster une pente de régression, afin
d’éliminer l’influence des variables confondantes. On va voir dans cette section
comment on peut ajuster de la sorte une corrélation.
Afin de calculer une corrélation entre deux variables X 1 et Y en s’affranchissant de l’influence d’une variable confondante X 2 , on procède de la manière
suivante :
• on calcule les résidus de la régression avec X 1 comme variable réponse et
X 2 comme prédicteur ; on appellera cette variable résiduelle « X 1 ajustée
pour X 2 » (notée X 1 |X 2 )
• on calcule les résidus de la régression avec Y comme variable réponse et
X 2 comme prédicteur ; on appellera cette variable résiduelle « Y ajustée
pour X 2 » (notée Y |X 2 )
• on calcule la corrélation entre les deux variables résiduelles ci-dessus, à
savoir X 1 |X 2 et Y |X 2 .
La corrélation obtenue est appelée la corrélation entre X 1 et Y ajustée pour
X 2 ou corrélation partielle, que l’on notera ρ X1Y |X2 . Cette corrélation partielle
peut s’obtenir alternativement en calculant directement :
ρ X1Y |X2 =
ρ X1Y − ρ X1X2 ρ Y X2
(1 − ρ 2
X1X2 )(1 − ρ 2
Y X2 )
où ρ X1Y , ρ X1X2 et ρ Y X2 dénotent les corrélations habituelles, respectivement
entre X 1 et Y , entre X 1 et X 2 , et entre Y et X 2 . On notera que dans le cas
où la variable X 2 n’est corrélée ni avec X 1 ni avec Y , on aura ρ X1Y |X2 = ρ X1Y
(dans ce cas, X 2 n’est pas une variable confondante)
7 .
6 Notons que l’on peut ici inverser les rôles, et considérer (en gardant les mêmes notations
que ci-dessus) Y comme prédicteur et X 1 comme variable réponse. On obtient l’équation de
régression simple :
b
x
∗
1 = 1.66 + 0.0359y.
En introduisant X 2 dans l’équation, on obtient :
b
x
∗
1 = 2.42 + 0.00362y − 0.0560x 2
la pente du prédicteur Y étant dix fois plus petite que dans la première équation et n’étant
plus significative (avec exactement le même p = 0.58 que ci-dessus).
7 La corrélation partielle ρ X 1 Y |X 2 est par ailleurs liée à la pente β 1 associée au prédicteur
X 1 dans l’équation de régression multiple avec Y comme variable réponse et avec X 1 et X 2
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qu’il n’y ait pas d’association entre la rapidité et la qualité des mouvements
6 .
14.5 Corrélation partielle
On a vu au chapitre 13 qu’une pente de régression et une corrélation sont
deux résumés possibles (mais apportant une information différente) de l’association statistique entre deux variables continues. On a également vu dans
la section précédente comment on peut ajuster une pente de régression, afin
d’éliminer l’influence des variables confondantes. On va voir dans cette section
comment on peut ajuster de la sorte une corrélation.
Afin de calculer une corrélation entre deux variables X 1 et Y en s’affranchissant de l’influence d’une variable confondante X 2 , on procède de la manière
suivante :
• on calcule les résidus de la régression avec X 1 comme variable réponse et
X 2 comme prédicteur ; on appellera cette variable résiduelle « X 1 ajustée
pour X 2 » (notée X 1 |X 2 )
• on calcule les résidus de la régression avec Y comme variable réponse et
X 2 comme prédicteur ; on appellera cette variable résiduelle « Y ajustée
pour X 2 » (notée Y |X 2 )
• on calcule la corrélation entre les deux variables résiduelles ci-dessus, à
savoir X 1 |X 2 et Y |X 2 .
La corrélation obtenue est appelée la corrélation entre X 1 et Y ajustée pour
X 2 ou corrélation partielle, que l’on notera ρ X1Y |X2 . Cette corrélation partielle
peut s’obtenir alternativement en calculant directement :
ρ X1Y |X2 =
ρ X1Y − ρ X1X2 ρ Y X2
(1 − ρ 2
X1X2 )(1 − ρ 2
Y X2 )
où ρ X1Y , ρ X1X2 et ρ Y X2 dénotent les corrélations habituelles, respectivement
entre X 1 et Y , entre X 1 et X 2 , et entre Y et X 2 . On notera que dans le cas
où la variable X 2 n’est corrélée ni avec X 1 ni avec Y , on aura ρ X1Y |X2 = ρ X1Y
(dans ce cas, X 2 n’est pas une variable confondante)
7 .
6 Notons que l’on peut ici inverser les rôles, et considérer (en gardant les mêmes notations
que ci-dessus) Y comme prédicteur et X 1 comme variable réponse. On obtient l’équation de
régression simple :
b
x
∗
1 = 1.66 + 0.0359y.
En introduisant X 2 dans l’équation, on obtient :
b
x
∗
1 = 2.42 + 0.00362y − 0.0560x 2
la pente du prédicteur Y étant dix fois plus petite que dans la première équation et n’étant
plus significative (avec exactement le même p = 0.58 que ci-dessus).
7 La corrélation partielle ρ X 1 Y |X 2 est par ailleurs liée à la pente β 1 associée au prédicteur
X 1 dans l’équation de régression multiple avec Y comme variable réponse et avec X 1 et X 2