Table. Log i cal Iden tities
1.
P
P P
⇔ ∨
(
)
Idempotence of ∨
2.
P
P P
⇔ ∧
(
)
Idempotence of ∧
3.
(
)
(
)
P Q
Q P
∨
⇔ ∨
Commutativity of ∨
4.
(
)
(
)
P Q
Q P
∧
⇔ ∧
Commutativity of ∧
5.
[(
)
] [
(
)]
P Q R
P Q R
∨ ∨ ⇔ ∨ ∨
Asso cia tiv ity of ∨
6.
[(
)
] [
(
)]
P Q R
P Q R
∧ ∧ ⇔ ∧ ∧
Asso cia tiv ity of ∧
7.
¬ ∨
⇔ ¬ ∧ ¬
¬ ∧
⇔ ¬ ∨ ¬



(
)
(
)
(
)
(
)
P Q
P
Q
P Q
P
Q
DeMorgan’s Laws
8.
9.
[
(
)] [(
) (
)]
P Q R
P Q
P R
∧ ∧
⇔
∧ ∨ ∧
Distributivity of ∧ over ∨
10.
[
(
)] [(
) (
)]
P Q R
P Q
P R
∨ ∧
⇔
∨ ∧ ∨
Distributivity of ∨ over ∧
11.
(
)
P ∨ ⇔
1
1
12.
(
)
P
P
∧ ⇔
1
13.
(
)
P
P
∨ ⇔
0
14.
(
)
P ∧ ⇔
0
0
15.
(
)
P
P
∨ ¬
⇔1
16.
(
)
P
P
∧ ¬
⇔ 0
17.
P
P
⇔ ¬ ¬
(
)
Dou ble Nega tion
18.
(
)
(
)
P Q
P Q
⇒
⇔ ¬ ∨
Impli ca tion
19.
(
) [(
) (
)]
P
Q
P Q
Q P
⇔
⇔
⇒ ∧
⇒
Equiv a lence
20.
[(
)
] [
(
)]
P Q
R
P
Q R
∧
⇒ ⇔ ⇒
⇒
Expor ta tion
21.
[(
) (
)]
P Q
P
Q
P
⇒ ∧
⇒ ¬
⇔ ¬
Absur dity
22.
(
)
(
)
P Q
Q
P
⇒
⇔ ¬ ⇒ ¬
Contrapositive
All the above identities can be proved by constructing truth tables.
The following table gives a list of tautologies which are implications.
Table. Log i cal Impli ca tions
1. P
P Q
⇒ ∨
(
)
Addi tion
2. (
)
P Q
P
∧
⇒
Sim pli fi ca tion
3. (
(
)]
P P Q
Q
∧
⇒
⇒
Modus Ponens
4. [(
)
]
P Q
Q
P
⇒ ∧ ¬ ⇒ ¬
Modus Tollens
5. [
(
)]
¬ ∧ ∨
⇒
P P Q
Q
Dis junc tive Syl lo gism
6. [(
) (
)] (
)
P Q
Q R
P
R
⇒ ∧
⇒
⇒
⇒
Hypo thet i cal Syl lo gism
7. (
) [(
) (
)]
P Q
Q R
P
R
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
8. [(
) (
) [(
) (
)]
P Q
R
S
P R
Q S
⇒ ∧
⇒ ⇒
∧
⇒ ∧
9. [(
) (
)] (
)
P
Q
Q
R
P
R
⇔ ∧
⇔
⇒
⇔
Prop o si tions and Pred i cates
259