Chapitre 1
Probabilit´ es ´ el´ ementaires
Introduction
Les exercices de ce chapitre concernent les r` egles de base du calcul des probabilit´ es. Dans beaucoup de probl` emes ´ el´ ementaires on calcule la probabilit´ e
d’un ´ ev´ enement comme {nombre de cas favorables ` a l’´ ev´ enement}/{nombre de
cas possibles}. Cela implique la connaissance de quelques formules de base de
l’analyse combinatoire. Un autre outil utile est la construction d’une structure
` a arbre qui repr´ esente graphiquement toutes les s´ equences possibles d’une exp´ erience r´ ep´ et´ ee. Dans ce contexte, la notion de probabilit´ e conditionnelle permet
de calculer des probabilit´ es complexes ` a partir de situations plus simples. Enfin,
le th´ eor` eme de Bayes est un r´ esultat fondamental qui permet d’« inverser » une
probabilit´ e conditionnelle (voir en particulier l’exercice 1.19 et la suite l’exercice 2.1).
Notes historiques
La notion d’al´ eatoire et le concept intuitif de probabilit´ e remontent ` a l’antiquit´ e mais c’est au XVI
e et au XVII
e si` ecle que des r` egles ´ el´ ementaires de
calcul sont d´ evelopp´ ees. La fameuse correspondance entre les math´ ematiciens
fran¸ cais Pascal et Fermat en 1654, concernant un probl` eme du jeu au hasard
propos´ e par un noble de l’´ epoque, le Chevalier de M´ er´ ee (voir l’exercice 1.6), est
consid´ er´ ee comme le point de d´ epart du « calcul » des probabilit´ es. Parmi les
grands savants qui ont travaill´ e par la suite sur des probl` emes de probabilit´ es
on peut mentionner Jacob Bernoulli avec son oeuvre Ars Conjectandi (1713)
ainsi que d’autres membres de cette famille unique de math´ ematiciens suisses,
de Moivre avec son oeuvre Doctrine des chances (1718) et ensuite Laplace,
Euler, Gauss, Lagrange et Legendre. Jusqu’au d´ ebut du XX
e si` ecle le domaine
des probabilit´ es resta un champ des math´ ematiques constitu´ e d’un ensemble de
r´ esultats (int´ eressants et utiles) mais sans aucune base axiomatique. En 1900
Hilbert ´ enon¸ ca son fameux programme qui contenait comme sixi` eme probl` eme
Probabilit´ es ´ el´ ementaires
Introduction
Les exercices de ce chapitre concernent les r` egles de base du calcul des probabilit´ es. Dans beaucoup de probl` emes ´ el´ ementaires on calcule la probabilit´ e
d’un ´ ev´ enement comme {nombre de cas favorables ` a l’´ ev´ enement}/{nombre de
cas possibles}. Cela implique la connaissance de quelques formules de base de
l’analyse combinatoire. Un autre outil utile est la construction d’une structure
` a arbre qui repr´ esente graphiquement toutes les s´ equences possibles d’une exp´ erience r´ ep´ et´ ee. Dans ce contexte, la notion de probabilit´ e conditionnelle permet
de calculer des probabilit´ es complexes ` a partir de situations plus simples. Enfin,
le th´ eor` eme de Bayes est un r´ esultat fondamental qui permet d’« inverser » une
probabilit´ e conditionnelle (voir en particulier l’exercice 1.19 et la suite l’exercice 2.1).
Notes historiques
La notion d’al´ eatoire et le concept intuitif de probabilit´ e remontent ` a l’antiquit´ e mais c’est au XVI
e et au XVII
e si` ecle que des r` egles ´ el´ ementaires de
calcul sont d´ evelopp´ ees. La fameuse correspondance entre les math´ ematiciens
fran¸ cais Pascal et Fermat en 1654, concernant un probl` eme du jeu au hasard
propos´ e par un noble de l’´ epoque, le Chevalier de M´ er´ ee (voir l’exercice 1.6), est
consid´ er´ ee comme le point de d´ epart du « calcul » des probabilit´ es. Parmi les
grands savants qui ont travaill´ e par la suite sur des probl` emes de probabilit´ es
on peut mentionner Jacob Bernoulli avec son oeuvre Ars Conjectandi (1713)
ainsi que d’autres membres de cette famille unique de math´ ematiciens suisses,
de Moivre avec son oeuvre Doctrine des chances (1718) et ensuite Laplace,
Euler, Gauss, Lagrange et Legendre. Jusqu’au d´ ebut du XX
e si` ecle le domaine
des probabilit´ es resta un champ des math´ ematiques constitu´ e d’un ensemble de
r´ esultats (int´ eressants et utiles) mais sans aucune base axiomatique. En 1900
Hilbert ´ enon¸ ca son fameux programme qui contenait comme sixi` eme probl` eme