4. Variables al´ eatoires multivari´ ees 97
xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
X
Y
xxx
xxx
x x x
-2
0
3
3
4
5
Fig. 4.3 – Repr´ esentation graphique du retard du train de l’exercice 4.8.
2. La probabilit´ e que Marine arrive en premier est
P (X M < X L ) =
45
15
60
xM
1
30
1
60
dx L dx M =
1
2
.
4.8
L’heure en minutes apr` es 12 h 00 ` a laquelle le train quitte la gare est ´ egale
` a la somme du retard X et du temps de stationnement Y . Or, cette somme
ne peut pas ˆ etre inf´ erieure `
a 7 parce que le train ne part jamais en avance sur
son horaire. Par cons´ equent, l’heure de d´ epart sera ´ egale `
a max(X + Y, 7) et le
retard Z
Z = max(X + Y, 7) − 7 = max(X + Y − 7, 0).
La figure 4.3 donne une repr´ esentation du retard dans le plan (x, y).
Nous savons que le retard Z est sup´ erieur ou ´ egal `
a 0 et qu’il ne peut pas
d´ epasser 1 minute car X + Y − 7 ≤ 1. La fonction de r´ epartition de Z est alors
F Z (z) = P (Z < z) =
0
s iz ≤ 0
P (X + Y − 7 ≤ z) si 0 ≤ z ≤ 1
1
s iz ≥ 1.
Il faut donc calculer P (X + Y − 7 ≤ z) et nous allons utiliser un agrandissement
(figure 4.4) de l’aire hachur´ ee de la figure 4.3. Comme les distributions de X
et Y sont uniformes, le calcul de cette probabilit´ e revient ` a faire le rapport de
xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
X
Y
xxx
xxx
x x x
-2
0
3
3
4
5
Fig. 4.3 – Repr´ esentation graphique du retard du train de l’exercice 4.8.
2. La probabilit´ e que Marine arrive en premier est
P (X M < X L ) =
45
15
60
xM
1
30
1
60
dx L dx M =
1
2
.
4.8
L’heure en minutes apr` es 12 h 00 ` a laquelle le train quitte la gare est ´ egale
` a la somme du retard X et du temps de stationnement Y . Or, cette somme
ne peut pas ˆ etre inf´ erieure `
a 7 parce que le train ne part jamais en avance sur
son horaire. Par cons´ equent, l’heure de d´ epart sera ´ egale `
a max(X + Y, 7) et le
retard Z
Z = max(X + Y, 7) − 7 = max(X + Y − 7, 0).
La figure 4.3 donne une repr´ esentation du retard dans le plan (x, y).
Nous savons que le retard Z est sup´ erieur ou ´ egal `
a 0 et qu’il ne peut pas
d´ epasser 1 minute car X + Y − 7 ≤ 1. La fonction de r´ epartition de Z est alors
F Z (z) = P (Z < z) =
0
s iz ≤ 0
P (X + Y − 7 ≤ z) si 0 ≤ z ≤ 1
1
s iz ≥ 1.
Il faut donc calculer P (X + Y − 7 ≤ z) et nous allons utiliser un agrandissement
(figure 4.4) de l’aire hachur´ ee de la figure 4.3. Comme les distributions de X
et Y sont uniformes, le calcul de cette probabilit´ e revient ` a faire le rapport de