vi
Contents
4 The Linearization of the Equations of Motion
67
4.1 The Drift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.2 The Quadrupole without Fringe Fields . . . . . . . . . . . .
70
4.2.1 The Electric Quadrupole . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
4.2.2 The Magnetic Quadrupole . . . . . . . . . . . . . . . .
72
4.3 Deflectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
4.3.1 The Homogeneous Magnetic Dipole . . . . . . . . . .
73
4.3.2 Edge Focusing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
4.3.3 The Inhomogeneous Sector Magnet . . . . . . . . . . .
82
4.3.4 The Inhomogeneous Electric Deflector . . . . . . . . .
83
4.4 Round Lenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
4.4.1 The Electrostatic Round Lens . . . . . . . . . . . . . .
89
4.4.2 The Magnetic Round Lens . . . . . . . . . . . . . . .
97
4.5 *Aberration Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5 Computation and Properties of Maps
115
5.1 Aberrations and Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.1.1 Horizontal Midplane Symmetry . . . . . . . . . . . . . 116
5.1.2 Double Midplane Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.1.3 Rotational Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.1.4 Symplectic Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2 Differential Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.2.1 The Structure 1 D 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2.2 The Structure n D v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2.3 Functions on Differential Algebras . . . . . . . . . . . 133
5.3 The Computation of Transfer Maps . . . . . . . . . . . . . . 134
5.3.1 An Illustrative Example . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.3.2 Generation of Maps Using Numerical Integration . . . 136
5.4 Manipulation of Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.4.1 Composition of Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.4.2 Inversion of Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.4.3 Reversion of Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6 Linear Phase Space Motion
141
6.1 Phase Space Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.1.1 Drifts and Lenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.1.2 Quadrupoles and Dipoles . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.2 Polygon–like Phase Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.3 Elliptic Phase Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.3.1 The Practical Meaning of α, β and γ . . . . . . . . . . 147
6.3.2 The Algebraic Relations among the Twiss Parameters 149
6.3.3 The Differential Relations among the Twiss Parameters 154
6.4 *Edwards-Teng Parametrization . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.4.1 The Algebraic Relations with Coupling . . . . . . . . 157
Contents
4 The Linearization of the Equations of Motion
67
4.1 The Drift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.2 The Quadrupole without Fringe Fields . . . . . . . . . . . .
70
4.2.1 The Electric Quadrupole . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
4.2.2 The Magnetic Quadrupole . . . . . . . . . . . . . . . .
72
4.3 Deflectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
4.3.1 The Homogeneous Magnetic Dipole . . . . . . . . . .
73
4.3.2 Edge Focusing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
4.3.3 The Inhomogeneous Sector Magnet . . . . . . . . . . .
82
4.3.4 The Inhomogeneous Electric Deflector . . . . . . . . .
83
4.4 Round Lenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
4.4.1 The Electrostatic Round Lens . . . . . . . . . . . . . .
89
4.4.2 The Magnetic Round Lens . . . . . . . . . . . . . . .
97
4.5 *Aberration Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5 Computation and Properties of Maps
115
5.1 Aberrations and Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.1.1 Horizontal Midplane Symmetry . . . . . . . . . . . . . 116
5.1.2 Double Midplane Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.1.3 Rotational Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.1.4 Symplectic Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2 Differential Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.2.1 The Structure 1 D 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2.2 The Structure n D v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2.3 Functions on Differential Algebras . . . . . . . . . . . 133
5.3 The Computation of Transfer Maps . . . . . . . . . . . . . . 134
5.3.1 An Illustrative Example . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.3.2 Generation of Maps Using Numerical Integration . . . 136
5.4 Manipulation of Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.4.1 Composition of Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.4.2 Inversion of Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.4.3 Reversion of Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6 Linear Phase Space Motion
141
6.1 Phase Space Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.1.1 Drifts and Lenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.1.2 Quadrupoles and Dipoles . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.2 Polygon–like Phase Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.3 Elliptic Phase Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.3.1 The Practical Meaning of α, β and γ . . . . . . . . . . 147
6.3.2 The Algebraic Relations among the Twiss Parameters 149
6.3.3 The Differential Relations among the Twiss Parameters 154
6.4 *Edwards-Teng Parametrization . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.4.1 The Algebraic Relations with Coupling . . . . . . . . 157