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2 • Lois fondamentales de l’électrodynamique
où v désigne la vitesse de la particule. L’intégrale d’action s’écrit alors :
S = −mc
2
t 2
t 1
1 −
v 2
c 2 dt = −mc
t 2
t 1
1 −
dx 2 + dy 2 + dz 2
c 2 dt 2
cdt = −mc
b(t 2 )
a(t 1 )
ds
(2.29)
où ds désigne l’intervalle élémentaire défini par (2.1).
Ainsi, d’après la formule (2.29), la minimisation de l’action revient à maximiser
l’intervalle séparant les événements a et b délimitant la portion de trajectoire considérée entre les dates déterminées t 1 et t 2 . Cet intervalle est maximisé le long d’une ligne
d’univers « droite », le maximum maximorum correspondant au cas de l’intervalle du
genre « temps » (ds
2 > 0) pour lequel la particule est immobile. Ainsi, le mouvement
de la particule libre suit, comme l’on pouvait s’y attendre, une trajectoire rectiligne
uniforme. Pour les vitesses faibles (v c), le développement de la formule (2.28)
en puissance de v/c montre que le lagrangien admet comme limite (à la constante
−mc
2 près) l’expression classique E c = mv
2 /2 de l’énergie cinétique. Dans le cadre
de cette approximation, le mouvement rectiligne uniforme apparaît alors, en vertu du
principe de moindre action, comme la solution la moins « coûteuse » en terme d’énergie cinétique pour relier deux points de l’espace en un intervalle de temps donné.
Dans le cas plus fréquent où intervient une énergie potentielle E p (par exemple
lorsque la particule évolue en présence d’un champ de force extérieur), le lagrangien
du système se construira de manière générale comme la différence de ses énergies
cinétique et potentielle généralisées [42] :
L = E c − E p
(2.30)
Lorsque la fonction de Lagrange ne dépend pas explicitement du temps (cas de
l’exemple précédemment évoqué), le système est dit conservatif :
L (q, ˙
q) = E c (q, ˙
q) − E p (q) .
2.3.2 Équations de Lagrange
En vue d’établir les équations différentielles déterminant le minimum de l’intégrale
d’action, considérons sans resteindre la généralité le cas d’un système à un seul degré de liberté suivant une trajectoire définie par la fonction q (t). Si l’on remplace
q (t) par toute autre fonction relative à une trajectoire « virtuelle » reliant les extrémités déterminées q (t 1 ) et q (t 2 ), l’intégrale d’action ne pourra que croître (ou
diminuer). Par conséquent, si l’écart entre les trajectoires réelle et virtuelle correspond à une fonction dq (t) à valeur petite dans tout l’intervalle considéré et telle que
dq (t 1 ) = dq (t 2 ) = 0, la condition d’extremum exprimant le principe de moindre
2 • Lois fondamentales de l’électrodynamique
où v désigne la vitesse de la particule. L’intégrale d’action s’écrit alors :
S = −mc
2
t 2
t 1
1 −
v 2
c 2 dt = −mc
t 2
t 1
1 −
dx 2 + dy 2 + dz 2
c 2 dt 2
cdt = −mc
b(t 2 )
a(t 1 )
ds
(2.29)
où ds désigne l’intervalle élémentaire défini par (2.1).
Ainsi, d’après la formule (2.29), la minimisation de l’action revient à maximiser
l’intervalle séparant les événements a et b délimitant la portion de trajectoire considérée entre les dates déterminées t 1 et t 2 . Cet intervalle est maximisé le long d’une ligne
d’univers « droite », le maximum maximorum correspondant au cas de l’intervalle du
genre « temps » (ds
2 > 0) pour lequel la particule est immobile. Ainsi, le mouvement
de la particule libre suit, comme l’on pouvait s’y attendre, une trajectoire rectiligne
uniforme. Pour les vitesses faibles (v c), le développement de la formule (2.28)
en puissance de v/c montre que le lagrangien admet comme limite (à la constante
−mc
2 près) l’expression classique E c = mv
2 /2 de l’énergie cinétique. Dans le cadre
de cette approximation, le mouvement rectiligne uniforme apparaît alors, en vertu du
principe de moindre action, comme la solution la moins « coûteuse » en terme d’énergie cinétique pour relier deux points de l’espace en un intervalle de temps donné.
Dans le cas plus fréquent où intervient une énergie potentielle E p (par exemple
lorsque la particule évolue en présence d’un champ de force extérieur), le lagrangien
du système se construira de manière générale comme la différence de ses énergies
cinétique et potentielle généralisées [42] :
L = E c − E p
(2.30)
Lorsque la fonction de Lagrange ne dépend pas explicitement du temps (cas de
l’exemple précédemment évoqué), le système est dit conservatif :
L (q, ˙
q) = E c (q, ˙
q) − E p (q) .
2.3.2 Équations de Lagrange
En vue d’établir les équations différentielles déterminant le minimum de l’intégrale
d’action, considérons sans resteindre la généralité le cas d’un système à un seul degré de liberté suivant une trajectoire définie par la fonction q (t). Si l’on remplace
q (t) par toute autre fonction relative à une trajectoire « virtuelle » reliant les extrémités déterminées q (t 1 ) et q (t 2 ), l’intégrale d’action ne pourra que croître (ou
diminuer). Par conséquent, si l’écart entre les trajectoires réelle et virtuelle correspond à une fonction dq (t) à valeur petite dans tout l’intervalle considéré et telle que
dq (t 1 ) = dq (t 2 ) = 0, la condition d’extremum exprimant le principe de moindre