2.2 Électromagnétisme et milieux matériels
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où le tenseur S ik , manifestement symétrique (S ik = S ki ), est appelé tenseur de déformation. Sa connaissance en tout point du milieu définit entièrement la transformation. On montre en outre que la somme S ii (opérée sur les termes diagonaux de
[S ik ]) correspond, au premier ordre près, à la variation relative du volume élémentaire entourant le point considéré. Lorsque les déformations sont faibles, le vecteur
déplacement et ses dérivées spatiales le sont aussi dans la plupart des cas [41]. On
peut alors négliger les termes du second ordre dans l’expression de dl
2 et le tenseur
de déformation s’écrit finalement :
S ik =
1
2
(∂ k u i + ∂ i u k )
(2.22)
Ox
Oy
Oz
: limites du corps non déformé
u
M 0
M
Ods
Odf
O
(V)
( V)
∂
dv
F
Figure 2.2 Grandeurs caractéristiques de la déformation d’un milieu continu
En ce qui concerne d’autre part les forces de tensions internes qui tendent généralement à ramener le corps vers sa situation de repos, elles se caractérisent, en
théorie de l’élasticité, par le fait que leur rayon d’action est négligeable par rapport aux distances élémentaires de l’échelle macroscopique (on exclut pour l’instant
le cas de milieux soumis à des forces d’origine électromagnétique opérant « à distance »). Ainsi, les actions mécaniques se transmettent « de proche en proche » à
l’intérieur du matériau, si bien que les forces développées au sein d’un volume (V )
quelconque sont nécessairement communiquées au reste du milieu à travers la surface (∂V ) qui le délimite. Ce raisonnement demeure valable à l’évidence si le volume
(V ) coïncide avec celui du corps tout entier. En d’autres termes, F désignant la force
locale par unité de volume, la résultante des forces donnée par l’intégrale
Fdv
doit pouvoir formellement se ramener à une intégrale de surface prise sur la frontière
du domaine considéré. Généralisant ainsi le théorème d’Ostrogradsky de l’analyse
vectorielle, cette transformation suppose que la force F i s’identifie à la divergence
d’une quantité tensorielle du second ordre appelée tenseur de contrainte et notée T ik .
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où le tenseur S ik , manifestement symétrique (S ik = S ki ), est appelé tenseur de déformation. Sa connaissance en tout point du milieu définit entièrement la transformation. On montre en outre que la somme S ii (opérée sur les termes diagonaux de
[S ik ]) correspond, au premier ordre près, à la variation relative du volume élémentaire entourant le point considéré. Lorsque les déformations sont faibles, le vecteur
déplacement et ses dérivées spatiales le sont aussi dans la plupart des cas [41]. On
peut alors négliger les termes du second ordre dans l’expression de dl
2 et le tenseur
de déformation s’écrit finalement :
S ik =
1
2
(∂ k u i + ∂ i u k )
(2.22)
Ox
Oy
Oz
: limites du corps non déformé
u
M 0
M
Ods
Odf
O
(V)
( V)
∂
dv
F
Figure 2.2 Grandeurs caractéristiques de la déformation d’un milieu continu
En ce qui concerne d’autre part les forces de tensions internes qui tendent généralement à ramener le corps vers sa situation de repos, elles se caractérisent, en
théorie de l’élasticité, par le fait que leur rayon d’action est négligeable par rapport aux distances élémentaires de l’échelle macroscopique (on exclut pour l’instant
le cas de milieux soumis à des forces d’origine électromagnétique opérant « à distance »). Ainsi, les actions mécaniques se transmettent « de proche en proche » à
l’intérieur du matériau, si bien que les forces développées au sein d’un volume (V )
quelconque sont nécessairement communiquées au reste du milieu à travers la surface (∂V ) qui le délimite. Ce raisonnement demeure valable à l’évidence si le volume
(V ) coïncide avec celui du corps tout entier. En d’autres termes, F désignant la force
locale par unité de volume, la résultante des forces donnée par l’intégrale
Fdv
doit pouvoir formellement se ramener à une intégrale de surface prise sur la frontière
du domaine considéré. Généralisant ainsi le théorème d’Ostrogradsky de l’analyse
vectorielle, cette transformation suppose que la force F i s’identifie à la divergence
d’une quantité tensorielle du second ordre appelée tenseur de contrainte et notée T ik .