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2 • Lois fondamentales de l’électrodynamique
A
l =
F
c
, A
conformément à la formule (cf. section A.6) :
F
lm = ∂
l
A
m
− ∂
m
A
l = g
lr ∂ r A
m
− g
ms ∂ s A
l
(2.6)
(g
rs = g rs dans le cas de la métrique considérée).
On en déduit alors immédiatement pour les composantes spatio-temporelles :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
−
E x
c
= F
01 = ∂ 0 A
1 + ∂ 1 A
0 =
1
c
∂ A x
∂t
+
1
c
∂F
∂x
−
E y
c
= F 02 = ∂ 0 A
2 + ∂ 2 A
0 =
1
c
∂ A y
∂t
+
1
c
∂F
∂ y
−
E z
c
= F 03 = ∂ 0 A
3 + ∂ 3 A
0 =
1
c
∂ A z
∂t
+
1
c
∂F
∂z
(2.7)
ce que traduit l’écriture vectorielle (dans l’espace tridimensionnel) :
E = −
∂A
∂t
− grad F
(2.8)
De même, les composantes purement spatiales donnent :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
−B z = F
12 = −∂ 1 A
2 + ∂ 2 A
1 = −
∂ A y
∂x
+
∂ A x
∂ y
B y = F
13 = −∂ 1 A
3 + ∂ 3 A
1 = −
∂ A z
∂x
+
∂ A x
∂z
−B x = F
23 = −∂ 2 A
3 + ∂ 3 A
2 = −
∂ A z
∂ y
+
∂ A y
∂z
(2.9)
d’où la relation bien connue :
B = rot A
(2.10)
On mesure ici la puissance et la concision du formalisme tensoriel qui rassemble,
au sein de l’expression covariante (2.6), les deux formules vectorielles définissant
les champs électrique et magnétique en fonction des potentiels scalaire et vecteur.
Notons par ailleurs que, en vertu des propriétés du rotationnel, les composantes du
champ demeurent inchangées si le 4-potentiel A
l est augmenté du gradient ∂
l C d’un
champ de scalaire C quelconque. Afin de lever cette ambiguïté, on peut alors imposer
au potentiel de satisfaire à une condition supplémentaire, de préférence covariante
si l’on souhaite garantir l’invariance des formulations établies. La jauge de Lorentz
impose ainsi la nullité de la divergence du 4-potentiel, selon la relation manifestement
covariante (cf. section A.7) :
∇ l A
l = ∂ l A
l = 0
(2.11)