6.3 Application à la modélisation des machines tournantes
191
(6.51) conduit à rechercher pour la densité de courant induite au rotor une solution
harmonique. La pulsation rotorique s’identifie alors à la vitesse relative du champ
statorique par rapport au milieu conducteur (V = v S − v R ). À l’aide des expressions
du potentiel vecteur données dans le tableau 6.3 (en convenant de négliger les termes
infiniment petits en x e d’ordre supérieur à 1), la résolution de l’équation conduit à
une densité de la forme (exprimée dans le référentiel statorique) :
k R (u, t) = K R sin
u − (v R + V) t − b R
avec
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
K R =
m 0
xe
j e a |v R |
1 +
m 0
xe
2
j 2
e a 2 v 2
R
K S tan b = −
1
m 0
xe
j e av R
(6.52)
sachant que
b = b S − b R b ∈
−p, −p/2
∪
p/2, p
Le moment du couple exercé par l’armature statorique sur le cylindre conducteur
se déduit directement de l’expression (6.44) établie pour la machine à double alimentation. On obtient finalement :
g =
pa 3 h
m 0
xe
2
j e v R K 2
S
1 +
m 0
xe
2
j 2
e a 2 v 2
R
(6.53)
Le couple développé est directement fonction de la pulsation des courants induits. On distingue ainsi plusieurs modes de fonctionnement, de type « moteur »
(0 < V < v S ), « frein à contre-courant » (V < 0), où générateur (V > v S ).
Dans le cadre d’un fonctionnement à amplitude de courants statoriques imposée,
l’expression trouvée fait apparaître un maximum (en valeur absolue) défini par :
g max =
1
2
pa
2 h
m 0
x e
K
2
S
(6.54)
Il est intéressant de noter que cet optimum correspond à un angle de calage b entre
l’axe du moment magnétique rotorique induit et l’axe du champ statorique égal à
±3p/4. Ainsi, à l’instar de la machine à aimantation induite, l’exploitation optimale
(en terme de couple) du processus de conversion par courants induits repose sur un
compromis entre l’intensité des courants induits au rotor et leur déphasage par rapport
au système de courants statoriques.
Enfin, on vérifiera aisément en calculant la puissance dissipée par effet Joule dans
la couche conductrice que la conversion d’énergie réalisée satisfait au bilan global
précédemment évoqué dans le cas de la machine à double alimentation (cf. § 5.3.3) :
la puissance transmise à la charge mécanique (gV) équivaut au flux d’énergie communiqué au champ par l’armature statorique (gv S ) diminué de la puissance dissipée
dans le rotor (gv R ).
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(6.51) conduit à rechercher pour la densité de courant induite au rotor une solution
harmonique. La pulsation rotorique s’identifie alors à la vitesse relative du champ
statorique par rapport au milieu conducteur (V = v S − v R ). À l’aide des expressions
du potentiel vecteur données dans le tableau 6.3 (en convenant de négliger les termes
infiniment petits en x e d’ordre supérieur à 1), la résolution de l’équation conduit à
une densité de la forme (exprimée dans le référentiel statorique) :
k R (u, t) = K R sin
u − (v R + V) t − b R
avec
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
K R =
m 0
xe
j e a |v R |
1 +
m 0
xe
2
j 2
e a 2 v 2
R
K S tan b = −
1
m 0
xe
j e av R
(6.52)
sachant que
b = b S − b R b ∈
−p, −p/2
∪
p/2, p
Le moment du couple exercé par l’armature statorique sur le cylindre conducteur
se déduit directement de l’expression (6.44) établie pour la machine à double alimentation. On obtient finalement :
g =
pa 3 h
m 0
xe
2
j e v R K 2
S
1 +
m 0
xe
2
j 2
e a 2 v 2
R
(6.53)
Le couple développé est directement fonction de la pulsation des courants induits. On distingue ainsi plusieurs modes de fonctionnement, de type « moteur »
(0 < V < v S ), « frein à contre-courant » (V < 0), où générateur (V > v S ).
Dans le cadre d’un fonctionnement à amplitude de courants statoriques imposée,
l’expression trouvée fait apparaître un maximum (en valeur absolue) défini par :
g max =
1
2
pa
2 h
m 0
x e
K
2
S
(6.54)
Il est intéressant de noter que cet optimum correspond à un angle de calage b entre
l’axe du moment magnétique rotorique induit et l’axe du champ statorique égal à
±3p/4. Ainsi, à l’instar de la machine à aimantation induite, l’exploitation optimale
(en terme de couple) du processus de conversion par courants induits repose sur un
compromis entre l’intensité des courants induits au rotor et leur déphasage par rapport
au système de courants statoriques.
Enfin, on vérifiera aisément en calculant la puissance dissipée par effet Joule dans
la couche conductrice que la conversion d’énergie réalisée satisfait au bilan global
précédemment évoqué dans le cas de la machine à double alimentation (cf. § 5.3.3) :
la puissance transmise à la charge mécanique (gV) équivaut au flux d’énergie communiqué au champ par l’armature statorique (gv S ) diminué de la puissance dissipée
dans le rotor (gv R ).