3.5 Introduction à la dynamique des systèmes électromécaniques
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par les sources), et dérivant par conséquent du potentiel V a (q, t) = − f a l (t) q
l , le
lagrangien prendra la forme générale :
L (q, ˙
q, t) = T
∗ (q, ˙
q) + T
∗
R ( ˙
q, t) − V (q) − V e (q) − V a (q, t)
(3.60)
À titre d’illustration, le tableau 3.7 détaille les principales étapes de la mise en
équation, à l’aide de cette méthode, du problème relatif à l’injecteur électromagnétique décrit au paragraphe 3.3.2.
Tableau 3.7 Mise en équation à l’aide du formalisme lagrangien de l’injecteur
électromagnétique de carburant (cf. section 3.3.2)
Degrés
« mécanique »
« électromagnétique »
de liberté
(l = 1)
(l = 2 ; convention « électrostatique »)
Variables généralisées
q l
x
q 2
=
idt
˙
q l
˙
x
i
p l
px
= m ˙
x
w
= li
f l
fx
= k
x − x 0
f 2 = 0
fe l
fe x (= mg)
fe 2 = 0
fa l (t)
fa x (t)
va (t)
f Rl
f Rx
= j ˙
x
v R (= ri)
(j : coefficient de frottement visqueux)
(r : résistance de la bobine)
Équations de Lagrange
d
dt
∂L
∂ ˙
q l −
∂L
∂q l = 0
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂L
∂ ˙
x
= m ˙
x +
t
0
j ˙
xdt
∂L
∂x
=
1
2
i 2
dl
dx
−k
x − x 0
+ mg + fa x
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂L
∂i
= l (x) i +
t
0
ridt
∂L
∂q 2
= va
d’où l’équation « mécanique » :
d’où l’équation « électrique » :
m¨ x + j ˙
x + k
x − x 0
= mg
+
1
2
i 2
dl
dx
+ fa x
l (x)
di
dt
+ i
dl
dx
˙
x + ri = va
Expression du lagrangien
L
x, q 2 , ˙
x, i, t
= T ∗
x, ˙
x
+ T ∗
R
˙
x, i, t
− V (x) − Ve (x) − Va
x, q 2 , t
avec :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
T ∗
x, ˙
x
=
1
2
m ˙
x 2 +
1
2
l (x) i 2
T ∗
R
˙
x, i, t
=
t
0
1
2
j ˙
x 2 +
1
2
ri 2
dt
V (x) =
1
2
k
x − x 0
2
Ve (x) = −mgx
Va
x, q 2 , t
= −fa x (t) x − va (t) q 2
Remarquons que, dans le cas de figure étudié, le degré de liberté « électromagnétique » ne comporte aucun élément de stockage de nature électrostatique. Aussi, la
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par les sources), et dérivant par conséquent du potentiel V a (q, t) = − f a l (t) q
l , le
lagrangien prendra la forme générale :
L (q, ˙
q, t) = T
∗ (q, ˙
q) + T
∗
R ( ˙
q, t) − V (q) − V e (q) − V a (q, t)
(3.60)
À titre d’illustration, le tableau 3.7 détaille les principales étapes de la mise en
équation, à l’aide de cette méthode, du problème relatif à l’injecteur électromagnétique décrit au paragraphe 3.3.2.
Tableau 3.7 Mise en équation à l’aide du formalisme lagrangien de l’injecteur
électromagnétique de carburant (cf. section 3.3.2)
Degrés
« mécanique »
« électromagnétique »
de liberté
(l = 1)
(l = 2 ; convention « électrostatique »)
Variables généralisées
q l
x
q 2
=
idt
˙
q l
˙
x
i
p l
px
= m ˙
x
w
= li
f l
fx
= k
x − x 0
f 2 = 0
fe l
fe x (= mg)
fe 2 = 0
fa l (t)
fa x (t)
va (t)
f Rl
f Rx
= j ˙
x
v R (= ri)
(j : coefficient de frottement visqueux)
(r : résistance de la bobine)
Équations de Lagrange
d
dt
∂L
∂ ˙
q l −
∂L
∂q l = 0
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂L
∂ ˙
x
= m ˙
x +
t
0
j ˙
xdt
∂L
∂x
=
1
2
i 2
dl
dx
−k
x − x 0
+ mg + fa x
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂L
∂i
= l (x) i +
t
0
ridt
∂L
∂q 2
= va
d’où l’équation « mécanique » :
d’où l’équation « électrique » :
m¨ x + j ˙
x + k
x − x 0
= mg
+
1
2
i 2
dl
dx
+ fa x
l (x)
di
dt
+ i
dl
dx
˙
x + ri = va
Expression du lagrangien
L
x, q 2 , ˙
x, i, t
= T ∗
x, ˙
x
+ T ∗
R
˙
x, i, t
− V (x) − Ve (x) − Va
x, q 2 , t
avec :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
T ∗
x, ˙
x
=
1
2
m ˙
x 2 +
1
2
l (x) i 2
T ∗
R
˙
x, i, t
=
t
0
1
2
j ˙
x 2 +
1
2
ri 2
dt
V (x) =
1
2
k
x − x 0
2
Ve (x) = −mgx
Va
x, q 2 , t
= −fa x (t) x − va (t) q 2
Remarquons que, dans le cas de figure étudié, le degré de liberté « électromagnétique » ne comporte aucun élément de stockage de nature électrostatique. Aussi, la