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3 • Le point de vue thermodynamique
seuls paramètres externes associés à la position des corps environnants. Il convient en
particulier de distinguer les forces internes (éventuellement conservatives) des forces
appliquées par les sources au niveau des degrés de liberté observables du système.
Cette différence tient, d’une part, au travail des forces généralisées de dissipation que
l’on ne peut plus négliger pour des vitesses (généralisées) de valeur significative et,
d’autre part, à l’intervention des forces d’inertie généralisées.
La caractérisation des phénomènes dissipatifs reste par principe une opération délicate (cf. section 2.3.5). Moyennant certaines hypothèses, on pourra toutefois chercher à « globaliser » leurs effets au niveau des degrés de liberté macroscopiques
grâce à l’introduction de coefficients appropriés (coefficient de frottement, résistance
ohmique, etc.).
Quant aux termes d’inertie généralisée, ils suggèrent que le principe de minimum
régissant l’équilibre dynamique du système repose sur une fonctionnelle énergétique
englobant non seulement son énergie potentielle (ou un potentiel thermodynamique
qui en dérive), mais également l’énergie cinétique qu’il renferme. Telle est précisément la nature de la fonction de lagrange L introduite au chapitre 2. Ainsi, à l’instar
des raisonnements développés pour établir les équations de l’élastodynamique (cf.
§ 2.3.3) et de l’électromagnétisme (cf. § 2.3.4), la dynamique couplée des systèmes
électro-magnéto-mécaniques pourra être logiquement déduite du principe de moindre
action.
Sans entrer dans les détails de ce vaste sujet [45] [3], on peut néanmoins en examiner les principaux résultats en se limitant au cas de systèmes macroscopiques à
constantes localisées, i.e. dont le comportement macroscopique est décrit au moyen
de variables globales (par opposition aux systèmes à constantes réparties généralement étudiés sous les hypothèses des milieux continus).
En vertu du principe général énoncé au paragraphe 2.3.1, la dynamique d’un système quelconque, décrit au moyen de n degrés de liberté rapportés aux coordonnées
généralisées q
l , est régie par les équations de Lagrange formulées par (équations
2.34) :
d
dt
∂ L
∂ ˙
q l −
∂ L
∂q l = 0 l ∈ {1, . . . , n}
(3.54)
Pour les dispositifs qui nous intéressent, les coordonnées q
l sont associées, s’agissant des degrés de liberté « mécaniques », aux variables de position (« x » ou « a »)
qui repèrent de manière univoque la position des corps mobiles. Si l’on adopte la
convention « électrostatique » précisée dans le tableau 3.2, c’est la charge électrique
(q c ) qui joue le rôle d’une coordonnée généralisée dans le cas d’un degré de liberté
« électromagnétique ». La vitesse généralisée correspondante n’est autre que le courant (i = ˙
q c ).
Quant à la fonction de Lagrange L, il ressort des considérations initialement développées dans le contexte de la mécanique (cf. section 2.3.1) que son expression
se construit de manière générale comme la différence des énergies cinétique (E c ) et
3 • Le point de vue thermodynamique
seuls paramètres externes associés à la position des corps environnants. Il convient en
particulier de distinguer les forces internes (éventuellement conservatives) des forces
appliquées par les sources au niveau des degrés de liberté observables du système.
Cette différence tient, d’une part, au travail des forces généralisées de dissipation que
l’on ne peut plus négliger pour des vitesses (généralisées) de valeur significative et,
d’autre part, à l’intervention des forces d’inertie généralisées.
La caractérisation des phénomènes dissipatifs reste par principe une opération délicate (cf. section 2.3.5). Moyennant certaines hypothèses, on pourra toutefois chercher à « globaliser » leurs effets au niveau des degrés de liberté macroscopiques
grâce à l’introduction de coefficients appropriés (coefficient de frottement, résistance
ohmique, etc.).
Quant aux termes d’inertie généralisée, ils suggèrent que le principe de minimum
régissant l’équilibre dynamique du système repose sur une fonctionnelle énergétique
englobant non seulement son énergie potentielle (ou un potentiel thermodynamique
qui en dérive), mais également l’énergie cinétique qu’il renferme. Telle est précisément la nature de la fonction de lagrange L introduite au chapitre 2. Ainsi, à l’instar
des raisonnements développés pour établir les équations de l’élastodynamique (cf.
§ 2.3.3) et de l’électromagnétisme (cf. § 2.3.4), la dynamique couplée des systèmes
électro-magnéto-mécaniques pourra être logiquement déduite du principe de moindre
action.
Sans entrer dans les détails de ce vaste sujet [45] [3], on peut néanmoins en examiner les principaux résultats en se limitant au cas de systèmes macroscopiques à
constantes localisées, i.e. dont le comportement macroscopique est décrit au moyen
de variables globales (par opposition aux systèmes à constantes réparties généralement étudiés sous les hypothèses des milieux continus).
En vertu du principe général énoncé au paragraphe 2.3.1, la dynamique d’un système quelconque, décrit au moyen de n degrés de liberté rapportés aux coordonnées
généralisées q
l , est régie par les équations de Lagrange formulées par (équations
2.34) :
d
dt
∂ L
∂ ˙
q l −
∂ L
∂q l = 0 l ∈ {1, . . . , n}
(3.54)
Pour les dispositifs qui nous intéressent, les coordonnées q
l sont associées, s’agissant des degrés de liberté « mécaniques », aux variables de position (« x » ou « a »)
qui repèrent de manière univoque la position des corps mobiles. Si l’on adopte la
convention « électrostatique » précisée dans le tableau 3.2, c’est la charge électrique
(q c ) qui joue le rôle d’une coordonnée généralisée dans le cas d’un degré de liberté
« électromagnétique ». La vitesse généralisée correspondante n’est autre que le courant (i = ˙
q c ).
Quant à la fonction de Lagrange L, il ressort des considérations initialement développées dans le contexte de la mécanique (cf. section 2.3.1) que son expression
se construit de manière générale comme la différence des énergies cinétique (E c ) et