54
Mécanique du point
0,4 0,81,2 1,6
2
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180
0
Figure 2.18
2) Rm a un mouvement de rotation par
rapport à Rt avec une vitesse angulaire
− →
V Rm/Rt = vo − → u z = ˙
u − → u z =
p
2
− → u z.
˙
u = vo ⇒ u = vot (t = 0, u(0) = 0)
A.N. : u =
p
2
t = 1, 57t
3) Étude dans Rt
Repère (O, x, y) avec la base ( − → ur , − → uu ) mobile
dans Rt.
− →
OP = r − → ur ⇒
− →
V P/Rt = ˙
r − → ur + r ˙
u − → uu
= (aot) − → ur +
1
2
aot
2 vo − → uu .
A.N. :
− →
V P/R = t. − → ur +
p
4
t
2− → uu .
− → a P/Rt = (¨ r − r ˙
u
2 ) − → ur + (2˙ r ˙
u + r ¨
u) − → uu = (ao −
1
2
aot
2 v
2
o ) − → ur + (2aovot) − → uu
A.N. : − → a P/Rt = (1 −
p
2
8
t
2 ) − → ur + pt − → uu = (1 − 1, 234t
2 ) − → ur + 3, 14t − → uu .
r =
1
2
aot
2 et u =
p
2
t ⇒ r =
1
2
ao
v 2
o
u
2 équation d’une spirale.
A.N. : r =
2
p 2 u
2 0, 2u
2 .
t
0
0,5
1
1,5
2
r
0
0,125
0,5
9
8
= 1, 125
2
u
0
p
4
0, 78
p
2
1, 57
3p
4
2, 36
p 3, 14
− →
V P/Rt . − → ur
0
1
2
= 0, 5
1
1,5
2
− →
V P/Rt . − → uu
0
p
16
0, 196
p
4
0, 78
9p
16
1, 77
p 3, 14
(voir figure 2.18)
4) Loi de composition des vitesses :
− →
V P/Rt =
− →
V P/Rm +
− →
Ve .
− →
Ve =
− →
V Rm/Rt ∧
− →
OP = rvo − → u z ∧ − → ur = rvo − → uu =
1
2
aovot
2− → uu ⇒ A.N. :
− →
Ve =
p
4
t
2− → uu .
− →
V P/Rt = (aot) − → ur +
1
2
aovot
2− → uu : même résultat que celui obtenu à la question 3.
Loi de composition des accélérations : − → a P/Rt = − → a P/Rm + − → a e + − → a c.
− → a e =
− →
V Rm/Rt ∧ (
− →
V Rm/Rt ∧
− →
OP) = −rv
2
o
− → ur = −
1
2
aov
2
o t
2− → ur .
− → a c = 2
− →
V Rm/Rt ∧
− →
V P/Rm = 2aovot − → uu .
− → a P/Rm = ao − → ur .
− → a P/Rt = (ao −
1
2
aot
2 v
2
o ) − → ur + (2aovot) − → uu : même résultat que celui obtenu à la question 3.
5 Le référentiel R
(aiguille) est en rotation uniforme par rapport au référentiel R (mur). Le
vecteur vitesse angulaire est
− →
V = v − → u z = −
p
30
− → u z.
1) Étude dans R
(O, − → ur , − → uu ) base fixe dans ce référentiel. À t = 0, OM = r(0) = 0 et
− → v M/R (0) =
− →
0
Mécanique du point
0,4 0,81,2 1,6
2
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180
0
Figure 2.18
2) Rm a un mouvement de rotation par
rapport à Rt avec une vitesse angulaire
− →
V Rm/Rt = vo − → u z = ˙
u − → u z =
p
2
− → u z.
˙
u = vo ⇒ u = vot (t = 0, u(0) = 0)
A.N. : u =
p
2
t = 1, 57t
3) Étude dans Rt
Repère (O, x, y) avec la base ( − → ur , − → uu ) mobile
dans Rt.
− →
OP = r − → ur ⇒
− →
V P/Rt = ˙
r − → ur + r ˙
u − → uu
= (aot) − → ur +
1
2
aot
2 vo − → uu .
A.N. :
− →
V P/R = t. − → ur +
p
4
t
2− → uu .
− → a P/Rt = (¨ r − r ˙
u
2 ) − → ur + (2˙ r ˙
u + r ¨
u) − → uu = (ao −
1
2
aot
2 v
2
o ) − → ur + (2aovot) − → uu
A.N. : − → a P/Rt = (1 −
p
2
8
t
2 ) − → ur + pt − → uu = (1 − 1, 234t
2 ) − → ur + 3, 14t − → uu .
r =
1
2
aot
2 et u =
p
2
t ⇒ r =
1
2
ao
v 2
o
u
2 équation d’une spirale.
A.N. : r =
2
p 2 u
2 0, 2u
2 .
t
0
0,5
1
1,5
2
r
0
0,125
0,5
9
8
= 1, 125
2
u
0
p
4
0, 78
p
2
1, 57
3p
4
2, 36
p 3, 14
− →
V P/Rt . − → ur
0
1
2
= 0, 5
1
1,5
2
− →
V P/Rt . − → uu
0
p
16
0, 196
p
4
0, 78
9p
16
1, 77
p 3, 14
(voir figure 2.18)
4) Loi de composition des vitesses :
− →
V P/Rt =
− →
V P/Rm +
− →
Ve .
− →
Ve =
− →
V Rm/Rt ∧
− →
OP = rvo − → u z ∧ − → ur = rvo − → uu =
1
2
aovot
2− → uu ⇒ A.N. :
− →
Ve =
p
4
t
2− → uu .
− →
V P/Rt = (aot) − → ur +
1
2
aovot
2− → uu : même résultat que celui obtenu à la question 3.
Loi de composition des accélérations : − → a P/Rt = − → a P/Rm + − → a e + − → a c.
− → a e =
− →
V Rm/Rt ∧ (
− →
V Rm/Rt ∧
− →
OP) = −rv
2
o
− → ur = −
1
2
aov
2
o t
2− → ur .
− → a c = 2
− →
V Rm/Rt ∧
− →
V P/Rm = 2aovot − → uu .
− → a P/Rm = ao − → ur .
− → a P/Rt = (ao −
1
2
aot
2 v
2
o ) − → ur + (2aovot) − → uu : même résultat que celui obtenu à la question 3.
5 Le référentiel R
(aiguille) est en rotation uniforme par rapport au référentiel R (mur). Le
vecteur vitesse angulaire est
− →
V = v − → u z = −
p
30
− → u z.
1) Étude dans R
(O, − → ur , − → uu ) base fixe dans ce référentiel. À t = 0, OM = r(0) = 0 et
− → v M/R (0) =
− →
0