Changements de référentiels
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1) Calculer en fonction de r o et v le vecteur vitesse v R1 de M dans le référentiel R 1
ainsi que le vecteur vitesse d’entraînement v e du point M.
2) En déduire le module du vecteur vitesse v R de M dans R et l’angle w défini par
w = (
−→
OM,, v R )
3) Calculer le vecteur accélération a R1 de M dans R 1 , le vecteur accélération d’entraînement a e du point M, le vecteur accélération complémentaire − → a c et l
accélération a R
de M dans R. Quelle est la valeur de l’angle C = (
−→
OM,, a R ) ?
O
C
P
θ
ωo
x
y
u x
→
u y
→
Figure 2.15
4 Un manège de chevaux de bois tourne à la vitesse
angulaire constante
v o = v o .. u z . Pour aider un enfant en difficulté sur un cheval de bois représenté
par le point C, le patron (point P) du manège part
du centre O et se dirige vers C d’un mouvement
d’accélération constante a o (figure 2.15).
Notation : R t référentiel terrestre (O, − → u x , − → u y , − → u z
repère fixe dans R t ) et R m référentiel lié au manège.
Origine des dates : à t = 0. P est en O et part avec
une vitesse nulle ; OC coïncide avec l’axe Ox.
On utilisera les coordonnées polaires (r, u) pour repérer P ainsi que la base ( − → u r , − → u u ) pour exprimer les
différents vecteurs.
On prendra : a = 1 m.s
−2
v = 15 tours/min
OC = r o = 2 m.
1) Étude dans le référentiel R m
a) Quelle est la nature du mouvement de P ?
b) Déterminer le vecteur vitesse de P : V P/Rm .
c) Déterminer l’équation horaire du mouvement de P : r(t).
d) Temps mis pour atteindre C.
2) Mouvement du référentiel R m par rapport au référentiel R t
a) Préciser quel est ce mouvement.
b) Donner l’équation horaire u(t).
3) Mouvement dans le référentiel R t
a) Donner l’expression du vecteur vitesse de P,
V P/Rt en fonction de a, v o et t.
b) Même chose pour le vecteur accélération a P/Rt .
c) Donner l’équation de la trajectoire en coordonnées polaires.
d) Faire une représentation (on prendra les valeurs pour t = 0 s ; t = 0, 5 s ;
t = 1 s ; t = 1, 5 s et t = 2 s). Représenter les vecteurs vitesses.
4) Utilisation des lois de composition des vitesses et des accélérations :
a) Écrire la loi de composition des vitesses.
b) Exprimer le vecteur vitesse d’entraînement de R m /R t pour le point P.
c) Vérifier que cette loi redonne bien
V P/Rt (3- a).
d) Exprimer la loi de composition des accélérations.
e) Déterminer l’accélération d’entraînement.
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1) Calculer en fonction de r o et v le vecteur vitesse v R1 de M dans le référentiel R 1
ainsi que le vecteur vitesse d’entraînement v e du point M.
2) En déduire le module du vecteur vitesse v R de M dans R et l’angle w défini par
w = (
−→
OM,, v R )
3) Calculer le vecteur accélération a R1 de M dans R 1 , le vecteur accélération d’entraînement a e du point M, le vecteur accélération complémentaire − → a c et l
accélération a R
de M dans R. Quelle est la valeur de l’angle C = (
−→
OM,, a R ) ?
O
C
P
θ
ωo
x
y
u x
→
u y
→
Figure 2.15
4 Un manège de chevaux de bois tourne à la vitesse
angulaire constante
v o = v o .. u z . Pour aider un enfant en difficulté sur un cheval de bois représenté
par le point C, le patron (point P) du manège part
du centre O et se dirige vers C d’un mouvement
d’accélération constante a o (figure 2.15).
Notation : R t référentiel terrestre (O, − → u x , − → u y , − → u z
repère fixe dans R t ) et R m référentiel lié au manège.
Origine des dates : à t = 0. P est en O et part avec
une vitesse nulle ; OC coïncide avec l’axe Ox.
On utilisera les coordonnées polaires (r, u) pour repérer P ainsi que la base ( − → u r , − → u u ) pour exprimer les
différents vecteurs.
On prendra : a = 1 m.s
−2
v = 15 tours/min
OC = r o = 2 m.
1) Étude dans le référentiel R m
a) Quelle est la nature du mouvement de P ?
b) Déterminer le vecteur vitesse de P : V P/Rm .
c) Déterminer l’équation horaire du mouvement de P : r(t).
d) Temps mis pour atteindre C.
2) Mouvement du référentiel R m par rapport au référentiel R t
a) Préciser quel est ce mouvement.
b) Donner l’équation horaire u(t).
3) Mouvement dans le référentiel R t
a) Donner l’expression du vecteur vitesse de P,
V P/Rt en fonction de a, v o et t.
b) Même chose pour le vecteur accélération a P/Rt .
c) Donner l’équation de la trajectoire en coordonnées polaires.
d) Faire une représentation (on prendra les valeurs pour t = 0 s ; t = 0, 5 s ;
t = 1 s ; t = 1, 5 s et t = 2 s). Représenter les vecteurs vitesses.
4) Utilisation des lois de composition des vitesses et des accélérations :
a) Écrire la loi de composition des vitesses.
b) Exprimer le vecteur vitesse d’entraînement de R m /R t pour le point P.
c) Vérifier que cette loi redonne bien
V P/Rt (3- a).
d) Exprimer la loi de composition des accélérations.
e) Déterminer l’accélération d’entraînement.