Cinématique du point
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Il est impératif de remarquer que la base
− → u r , − → u u , − → u z
est une base orthonormée et que
les vecteurs − → u r , − → u u sont des vecteurs mobiles et donc variables dans le temps, contrairement aux vecteurs − → u x , − → u y , − → u z qui eux sont fixes.
En appliquant la définition de la vitesse, il est possible d’exprimer le vecteur vitesse du
point M dans la base mobile, soit :
− → v M/R =
d
−→
OM
d t
=
d(r − → u r )
d t
=
d r
d t
− → u r + r
d − → u r
d t
Le calcul de la vitesse peut se faire en utilisant le théorème du vecteur unitaire tournant
(annexe 1, 5.2.) qui impose que :
d − → u r
d t
= − → u u
d u
d t
= ˙
u − → u u
ce qui engendre qu’en coordonnées polaires :
− → v M/R = ˙
r − → u r + r ˙
u − → u u
En coordonnées cylindriques (figure 1.6a), il suffit de rajouter la troisième composante
suivant l’axe Oz :
−→
OM = r − → u r + z − → u z
L’expression du vecteur vitesse est alors obtenue en ajoutant la composante suivant − → u z :
− → v M/R = ˙
r − → u r + r ˙
u − → u u + ˙ z − → u z
L’utilisation des coordonnées cylindriques (ou polaires) est appréciable dès que le
mouvement du point M est curviligne (circulaire ou elliptique).
Le vecteur vitesse que nous avons calculé et exprimé dans la base polaire représente
la vitesse du point par rapport au référentiel R. Il s’agit bien du même vecteur que
l’on exprime dans la base cartésienne par :
v M/R = ˙ x − → u x + ˙ y − → u y
2.4. Vitesse dans la base de Frenet
Il est également possible de déterminer la vitesse du point M dans le référentiel R en
utilisant une nouvelle base appelée base de Frenet. La base de Frenet est une base locale
qui se déplace avec le point M. Elle est utilisée lorsque le mouvement du point M est
curviligne. Elle fait intervenir le cercle osculateur à la trajectoire du point M, c’est-à-dire
le cercle qui est tangent localement à la trajectoire du point M. L’un des vecteurs de base
est tangent à la trajectoire et est orienté dans le sens positif donné à la trajectoire, l’autre
vecteur est dirigé selon le rayon de courbure de la trajectoire, vers le centre du cercle
osculateur.
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Il est impératif de remarquer que la base
− → u r , − → u u , − → u z
est une base orthonormée et que
les vecteurs − → u r , − → u u sont des vecteurs mobiles et donc variables dans le temps, contrairement aux vecteurs − → u x , − → u y , − → u z qui eux sont fixes.
En appliquant la définition de la vitesse, il est possible d’exprimer le vecteur vitesse du
point M dans la base mobile, soit :
− → v M/R =
d
−→
OM
d t
=
d(r − → u r )
d t
=
d r
d t
− → u r + r
d − → u r
d t
Le calcul de la vitesse peut se faire en utilisant le théorème du vecteur unitaire tournant
(annexe 1, 5.2.) qui impose que :
d − → u r
d t
= − → u u
d u
d t
= ˙
u − → u u
ce qui engendre qu’en coordonnées polaires :
− → v M/R = ˙
r − → u r + r ˙
u − → u u
En coordonnées cylindriques (figure 1.6a), il suffit de rajouter la troisième composante
suivant l’axe Oz :
−→
OM = r − → u r + z − → u z
L’expression du vecteur vitesse est alors obtenue en ajoutant la composante suivant − → u z :
− → v M/R = ˙
r − → u r + r ˙
u − → u u + ˙ z − → u z
L’utilisation des coordonnées cylindriques (ou polaires) est appréciable dès que le
mouvement du point M est curviligne (circulaire ou elliptique).
Le vecteur vitesse que nous avons calculé et exprimé dans la base polaire représente
la vitesse du point par rapport au référentiel R. Il s’agit bien du même vecteur que
l’on exprime dans la base cartésienne par :
v M/R = ˙ x − → u x + ˙ y − → u y
2.4. Vitesse dans la base de Frenet
Il est également possible de déterminer la vitesse du point M dans le référentiel R en
utilisant une nouvelle base appelée base de Frenet. La base de Frenet est une base locale
qui se déplace avec le point M. Elle est utilisée lorsque le mouvement du point M est
curviligne. Elle fait intervenir le cercle osculateur à la trajectoire du point M, c’est-à-dire
le cercle qui est tangent localement à la trajectoire du point M. L’un des vecteurs de base
est tangent à la trajectoire et est orienté dans le sens positif donné à la trajectoire, l’autre
vecteur est dirigé selon le rayon de courbure de la trajectoire, vers le centre du cercle
osculateur.