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Mécanique du point
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
-6
-4
-2
0
2
4
6
x(t)=5sin(2πt+π/3)
x(t)
t (s)
Figure 5.1 • Représentation de l’évolution de la position d’un oscillateur
harmonique en fonction du temps.
Axe des imaginaires purs
v t
v t + w
x max
w
j
Axe des réels
x max cos(v t +w)
Figure 5.2 • Représentation de l’élongation instantanée d’un oscillateur dans le plan complexe.
La position instantanée x(t) de l’oscillateur est donnée par la partie réelle du nombre
complexe x défini par :
x = [x max , vt + w]
x = x max e
j(vt+w)
Par abus d’écriture, il est fréquent de confondre le nombre complexe x avec la position
instantanée x(t) de l’oscillateur. On écrit ainsi que :
x(t) = x max e
j(vt+w)
ce qui n’a pas de sens physique mais qui est bien pratique.
La vitesse instantanée de l’oscillateur est alors donnée par :
v (t) =
d x
d t
= x max vje
j(vt+w) = x max ve
j(vt+w+
p
2
)
On constate que la vitesse est déphasée p/2 par rapport à la position. Cela montre bien
que, lorsque l’oscillateur passe par l’origine x = 0, sa vitesse est maximale alors que quand
il passe par son élongation maximale x = x max sa vitesse est nulle.