Travail, puissance, énergie
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3 1) Voir figure 4.18.
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
1
2
3
4
5
6
7
x(m)
z(x) (m)
Figure 4.18
2) Conditions de stabilité en x = xo = 0,
d E P
d x
´
x 0
= 0 et
d
2 E P
d x 2
”
x 0
= 2a > 0, donc l’équilibre
est stable dans cette position. Par contre en x1 = 2, 695 m nous avons :
d EP
d x
«
x 1
= 0 et
d
2 EP
d x 2
«
x 1
< 0
donc cette position est une position d’équilibre instable.
3) En xM = 1, 5 m, z(xM) = 0, 563 m. Le solide va aller du côté correspondant à la diminution
de son énergie potentielle soit vers les x décroissants. Son énergie potentielle va décroître
jusqu’à ce qu’il passe par x = 0 où elle deviendra nulle si l’on convient de prendre l’origine
des énergies potentielles en z = 0. Comme il n’y a pas de frottements, l’énergie mécanique se
conserve :
E = E(M) =⇒
1
2
mv
2 + mgz(x) = mgz(xM)
L’énergie cinétique sera donc :
1
2
mv
2 = mgz(xM) − mgz(x).
L’énergie cinétique passe par un maximum quand z(x) = 0, ce qui correspond à la position du
point P. La vitesse en ce point est donnée par :
v =
p
2gz(xM) = 3, 32 ms
−1 .